Livro 3 - Geometria Espacial
Este livro dinâmico explora diversos conteúdos de Geometria Espacial que serão abordados durante as aulas de matemática B do segundo ano do ensino médio do Instituto de Educação Harmonia Bilíngue. Como o texto é novo, erros são esperados, assim que sinta-se a vontade para indicar estes erros para a melhora do texto.
Table of Contents
- Geometria de Posição
- Noções e Proposições Primitivas
- Determinação
- Posições Relativas entre retas
- Posições relativas entre a reta e o plano
- Posições relativas entre planos
- Exercícios - Postulados e Posições
- Perpendicularismo - A reta
- O teorema das três perpendiculares
- Perpendicularismo - O plano
- Distâncias
- Perpendicularismo - Exercícios
- Projeção - Exercícios
- Diedros, Triedros e Poliedros
- Diedros
- Exercícios - Diedros
- Triedros
- Exercícios - Triedros
- Ângulos Poliedricos
- Poliedros
- Poliedros - Exercícios
- Poliedros Regulares
- Primas e Pirâmides
- Prismas - Exercícios
- Pirâmides - Exercícios
- Cilindros, Cones e Esferas
- Esfera - Exercícios
- Cilindro - Exercícios
- Cone - Exercícios
Noções e Proposições Primitivas
Entes Primitivos
O que é um postulado?
[b]Postulados ou Axiomas[/b] são [b]verdades inquestionáveis[/b] universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação.[br]Um sistema axiomático é o conjunto dos axiomas que definem uma determinada teoria e que constituem as verdades mais simples a partir das quais se demonstram os novos resultados dessa teoria. O axioma contém evidência em si próprio e por isso não precisa ser demonstrado.
Postulados de Existência
da reta e do plano
P1. Em uma reta, e também fora dela, há infinitos pontos distintos
P2. Em um plano, e também fora dele, há infinitos pontos.
Postulados da determinação
da reta e do plano
P3. Dois pontos distintos determinam uma reta
P4. Três pontos distintos não alinhados determinam um plano que os contém.
Postulado da inclusão
da reta no plano
P5. Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, ela está contida no plano.
Postulado da Interseção
entre dois planos
P6. Se existir um ponto comum a dois planos, existirá outro ponto também comum a esses planos
Postulados da divisão
dividindo a reta, o plano ou o espaço em dois conjuntos
P7. Toda reta contida em um plano o divide em dois conjuntos convexos e disjuntos de pontos denominados semiplanos
P8. Todo plano divide o espaço em dois conjuntos convexos e disjuntos de pontos denominados semi-espaços
O que é um teorema?
Uma [b]proposição [/b]ou [b]teorema [/b]são propriedades aceitas apenas com justificativa. As justificativas são construídas a partir dos postulados ou outros teoremas.
Abaixo temos um cubo e o ângulo FAC mede 60 graus. Você concorda que isso é verdade sem uma explicação?
Você saberia explicar por que isso é verdade?
A resposta a essa pergunta é uma justificativa, uma demostração deste teorema
Diedros
Definição
O diedro [math]\alpha[/math] [math]r[/math] [math]\beta[/math] é a reunião dos semiplanos [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math], não coplanares e de mesma origem [math]r[/math]
O estudo dos diedros se assemelha aos dos ângulos. O lugar do [b]vértice[/b] é ocupado por uma [b]aresta[/b] e o lugar das [b]semi-retas[/b] é ocupado pelas [b]faces, [/b]os [b]semi-planos. [/b]
Dois planos concorrentes definem:
Linha de maior declive
Linha de maior declive
Linha de declive de um plano em relação ao outros é a reta pertencente a esse plano e perpendicular à interseção.
Ângulo retilíneo ou seção normal
Plano Bissetor
Plano Bissetor
Divide o ângulo retilíneo em dois ângulos congruentes. Para construir basta tomar uma bissetriz de um ângulo e a interseção do diedro
Diedros opostos pela aresta são congruêntes
Diedros menores formados em torno de um mesmo semiespaço em torno de uma reta têm por soma 180 graus.
Prismas - Exercícios
SAEP2013 - Ciclo 2
Cláudia precisa fazer o molde da superfície de um cubo, e a cartolina que ela tem disponível para fazer esse molde tem 96 dm².[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image174ddc67cadfe318.png[/img][br]É correto inferir que, depois de feito, o volume máximo do molde desse cubo será de:
SAEP2013 - Ciclo 2
O responsável pela seção de compras de uma construtora foi incumbido de comprar concreto para a construção de uma laje retangular, com 15 metros de comprimento, 8 metros de largura e 10 cm de espessura. Para a construção dessa laje, a quantidade mínima de concreto que ele deve comprar é:
SAEP2013 - Ciclo 2
Em uma folha de cartolina, Mário recortou a seguinte figura.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image6d5d9e630e6c8096.png[/img][br]Com esse recorte, ele pode montar a superfície de um prisma:
SAEP2013/2016 - Ciclo 4
Os polos da Terra passam por ciclos de degelo e “recongelamento”, o que ocasiona a formação e o derretimento de enormes icebergs.[br]Considere um iceberg em processo de derretimento, com a forma de um cubo de 20 metros de lado e densidade de 900 kg/m3. Esse iceberg, ao derreter, perde 100 quilogramas de massa por hora. Com base nos dados apresentados, estima-se que, após 2.700 horas de derretimento, o volume desse iceberg será de:
SAEP2013 - Ciclo 4
Uma caixa-d’água, com formato cúbico e aresta interna igual a 90 cm, contém um volume de água que ocupa um terço de sua capacidade total.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image843f87871712e06c.png[/img][br]Sabendo que 1 litro corresponde a 1 decímetro cúbico, para encher completamente a caixa-d’água, sem transbordar, faltam:
SAEP2014 - Ciclo 2
Dois cubos maciços, fabricados com o mesmo material, pesam, respectivamente, 2,5 kg e 20 kg. Para pintar a superfície do menor, foram gastos 9 cm³ de tinta. Nas mesmas condições, para pintar a superfície do maior, serão gastos:
SAEP2014 - Ciclo 2
Uma empresa, líder na produção de embalagens, produz bags plásticos em forma de cubo. Recentemente, descobriu-se que, ao dobrar o volume do maior dos bags que produz, o tempo de envase e desenvase do produto nele contido irá melhorar consideravelmente em relação ao tempo que levava antes. [br]Nesse sentido, para dobrar o volume do maior bag produzido, deve-se multiplicar a medida de sua aresta por: (Dado: [math]\sqrt[3]{2}=1,26[/math].)
SAEP2014 - Ciclo 2
Em 25 de setembro de 1917, Harry J. Watts patenteou a criação de uma broca de giro que faz buracos quase quadrados. Hoje, essa ferramenta é conhecida como broca de Watts, ilustrada a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image4136367c638c4f8a.png[/img][br]Usando uma dessas brocas, Paulo atravessou o centro das faces opostas de um cubo maciço de 3 cm de aresta, restando 20 pequenos cubos, com 1 cm de aresta, como mostra a figura 2.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image4b6185695bed8a91.png[/img][br]Se as arestas dos furos estiverem paralelas às do cubo, a área total da região interna escavada será de aproximadamente:
SAEP2014 - Ciclo 2
Uma preocupação muito recorrente no verão são as chuvas, que, em quantidade excessiva, podem danificar patrimônios e construções, formando alagamentos e provocando enchentes. Para evitar danos como esses, muitas pessoas criam “calços” para suspender os objetos que estão apoiados no chão. Um empresário possui um galpão com o formato de um paralelepípedo reto retangular, com 50 metros de comprimento, 10 metros de largura e 5,5 metros de altura, como mostra a figura a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image4c4b87a37c7d7e95.png[/img][br]Com as chuvas de verão, 150.000 litros de água entraram no galpão. Para evitar danos aos objetos devido à água da chuva que entrou no local, esse empresário mandou suspender os objetos a uma altura de, no mínimo:
SAEP2014 - Ciclo 2
Na fabricação de embalagens de papelão, a figura correspondente à planificação da embalagem é recortada de uma placa de papelão e, em seguida, dobrada para se formar a embalagem. Para uma encomenda, uma figura foi cortada a partir da placa de papelão mostrada na imagem a seguir, formada por dois trapézios retângulos congruentes, um quadrado, dois retângulos, um triângulo retângulo isósceles e um triângulo equilátero.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/imaged68e360757427152.png[/img][br]Um cliente deseja armazenar, em cada embalagem, 350 ml de sorvete; para isso, solicitou ao fabricante embalagens com as seguintes dimensões, em centímetros:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/imageb8ff1a1413bc43f8.png[/img][br]Ao se construírem as embalagens com as dimensões fornecidas, verificou-se que, em cada embalagem:
SAEP2014 - Ciclo 4
Na casa de Silvinho, há uma piscina com 30 dm de largura e 4 m de comprimento. Sua parte mais rasa tem 50 cm de profundidade, e a mais funda 10 dm de profundidade, sendo ligadas por uma rampa plana.[br]A quantidade de água, em litros, necessária para encher essa piscina é:
SAEP2015 - Ciclo 2
Uma empresa de cosméticos lançou uma caixa de presente com tampa e no formato de um prisma regular hexagonal, para oferecer uma opção de embrulho a seus clientes, como mostra a figura a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/20/image1a450b886973e75d.png[/img][br]Como decoração, a caixa de presente foi impressa com desenhos[br]natalinos em sua área total, que tinha como medida
SAEP2016 - Ciclo 2
[i][right]Desde que a humanidade surgiu, sempre houve a preocupação de como manter de forma artificial a luminosidade proporcionada pelo Sol, e a vela foi um dos primeiros instrumentos utilizados para esta finalidade, desde a Antiguidade. [...] Antigamente, em sua maior parte, as velas eram fabricadas com cera de carnaúba. Nos dias de hoje, o processo de produção da parafina permite a obtenção de um material de elevado ponto de fusão, o que confere melhor qualidade à matéria-prima para fabricação de velas, sem a[br]necessidade de adição de estearina. Com isso, as velas tornaram-se mais baratas e com maior poder de iluminação [...]. “A importância da vela”. Fundação Demócrito Rocha. Disponível em: <http://fdr.com.br/formacao/2013/produtor-de-velas-artesanaise-decorativas/moldes/>. Acesso em: 20 fev. 2016. (Adapt.).[/right][br][/i]Uma fábrica iniciou a produção de velas decorativas no formato de um prisma hexagonal regular com os lados de 5 cm e a altura h de 16 cm. O material utilizado para a fabricação é a parafina, que possui a densidade de 0,9 g/mL. Considerando √3=1,73 e sabendo que o quilograma da parafina custa R$ 12,00, o custo de fabricação de uma vela, com esse formato, desprezando-se o custo do pavio, é de, aproximadamente:
SAEP2017 - Ciclo 2
Uma caixa-d’água tem a forma de um prisma reto regular de base hexagonal, com capacidade máxima de 1.000 litros, e suas paredes são retangulares, reforçadas com estruturas em suas diagonais, conforme mostra a figura a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/imagecee1c276a998b7de.png[/img][br]Ao despejar 20 litros de água nessa caixa, inicialmente vazia, verifica-se que a altura do nível de água será de 1 cm. Portanto, considerando √3 ≅1,7, o comprimento de cada estrutura presente na diagonal das faces laterais mede, aproximadamente,
SAEP2017 - Ciclo 2
Uma placa quadrada de madeira foi cortada em quatro retângulos congruentes e um quadrado, conforme ilustra a figura a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/imageedf6425431d49b65.png[/img][br]Utilizando-se todos os retângulos e o quadrado, construiu-se uma caixa em forma de um paralelepípedo reto de base quadrada, sem tampa, para guardar alguns pinos de comprimentos variados. Se a área total da superfície externa dessa caixa é de 81 cm², então a medida do comprimento do maior pino – desprezada sua espessura – que poderá ser colocado nessa caixa, sem que nenhuma parte dele fique para fora, é:
SAEP2017 - Ciclo 2
Para atrair a atenção das crianças, a empresa responsável pela marca de um cereal forneceu o produto em uma caixa com a planificação a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/image995563824662e49b.png[/img][br]Essa caixa, após ser devidamente montada, forma um(a)[br]a) [br]b) [br]c) [br]d) [br]e)
SAEP2017 - Ciclo 2
Uma construtora foi contratada pela prefeitura de uma cidade para erguer um muro com 100 m de comprimento, 3 m de altura e 50 cm de espessura. Cada tijolo desse muro mede, aproximadamente, 25 cm x 12 cm x 5 cm, já com a camada de rejunte incluída. Após alguns cálculos, o mestre de obras estimou que, se nenhum tijolo for quebrado ou dividido durante a obra, serão necessários:
SAEP2017 - Ciclo 3
O saguão privativo de um edifício foi projetado para ter o formato de um prisma reto, em que uma face lateral corresponde à porta do elevador, duas faces laterais distintas correspondem às portas de entrada de dois imóveis diferentes, e outras duas faces correspondem a duas paredes. Qual o número de arestas do prisma que inspirou o projeto desse saguão?
SAEP2017 - Ciclo 3
Uma das maiores empresas do mundo na área de tecnologia irá desmontar o cubo de vidro icônico que construiu na 5a Avenida (Fifth Avenue), em Nova York. A obra arquitetônica impressiona por sua beleza e imponência. O cubo possui diagonal de 10√3 m e apenas uma de suas faces não é feita de vidro – justamente a que fica em contato com o solo.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/imagef231bb7a53655384.png[/img][br]A área da superfície de vidro utilizada na construção desse cubo foi de:
SAEP2017 - Ciclo 3
Uma caixa de leite, cujo formato é de um paralelepípedo reto-retângulo, tem capacidade de 1,2 litros e apresenta como base um retângulo de dimensões 12,5 cm por 6,0 cm.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/image1e081eb4431712c8.png[/img][br]Nessas condições, a altura dessa caixa de leite deve ser de
SAEP2017 - Ciclo 3
Um telhado tem a forma de um prisma cujas bases são triângulos isósceles. Cada um desses triângulos possui o maior ângulo com medida igual a 105º e o maior lado com medida igual a 10 m, conforme a figura a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/22/image2d767a11bdd640fc.png[/img][br]Com base nos dados apresentados e considerando √2 =1,4, √6 = 2,4 e √10 = 3,2, as arestas menores das bases desse prisma medem, aproximadamente,
SAEP2017 - Ciclo 4
Uma artesã utiliza um molde para a confecção de caixas de presentes com tampa que, quando montadas, têm forma de paralelepípedo, como ilustra a figura a seguir. [br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/22/imagea6b8e579ff9523ed.png[/img][br]Ela pretende fazer 2.000 dessas caixas. Sabe-se que, para cada caixa moldada, há sobra de 20% do papelão inicialmente destinado à montagem dela. Considerando as sobras, quantos metros quadrados de papelão serão necessários para confeccionar essas caixas?[br]
Esfera - Exercícios
SAEP2014 - Ciclo 3
Uma caldeira de forma cúbica, com capacidade de 1.000 litros, ficaria perfeitamente inscrita em uma esfera de raio R. Será necessário substituí-la por outra também cúbica, que ficaria perfeitamente circunscrita à mesma esfera. [br]Considerando o exposto, a capacidade da nova caldeira será de,[br]aproximadamente,
SAEP2014 - Ciclo 3
Para empinar uma pipa, Rafael vai usar um fio cilíndrico que achou na garagem de sua casa. O fio, de 0,5 mm de raio, estava enrolado formando uma esfera com 20 cm de diâmetro e sem nenhum espaço vazio.[br]Ao desenrolar completamente o fi o e esticá-lo em linha reta, seu comprimento total será de, aproximadamente:
SAEP2013 - Ciclo 3
Ao comprar mexericas e descascá-las, Júlia constatou que todos os gomos eram cunhas esféricas perfeitas, com ângulo diedro de 30° e 5 cm de raio.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/imagee292d1f34f233bdb.png[/img][br]Como prefere o suco puro da fruta, Júlia bateu 20 gomos de mexerica no liquidificador, coando logo em seguida. Admitindo que as mexericas são perfeitamente esféricas e que 30% do volume batido se transformou em bagaço, é correto afirmar que a quantidade de suco puro obtida foi de, aproximadamente:
SAEP2013 - Ciclo 3
Leia o fragmento a seguir.[br][right][i]Arquimedes nasceu em Siracusa, na Sicília, em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Consagrou-se à matemática, mais especialmente à geometria. Ainda muito jovem, começou a distinguir-se por seus trabalhos científicos. De regresso à Siracusa, consagrou-se ao estudo da geometria e da mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que o imortalizaram. [...][/i][br]Disponível em: <www.somatematica.com.br/biograf/arquimedes.php>. Acesso em: mar. 2013. (Adapt.).[br][br][/right]Segundo Plutarco, de todas as descobertas de Arquimedes, a que ele mais apreciava era a relação entre volume e área da esfera e do cilindro, dada por [math]\frac{V_{esfera}}{V_{cilindro}}=\frac{A_{esfera}}{A_{cilindro}}[/math],para uma esfera de raio R, inscrita em um cilindro de altura 2R e raio R. Arquimedes orgulhava-se tanto dessa descoberta que havia solicitado que em seu túmulo fosse colocada uma escultura de um cilindro e, em seu interior, uma esfera de mesma altura e mesmo diâmetro, conforme ilustra a figura.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/13/image729a612133fc5325.png[/img][br]A fim de produzir uma escultura semelhante, colocou-se dentro de um cilindro equilátero, com 2 litros de água, uma esfera maciça, de diâmetro igual ao do cilindro, fazendo com que este ficasse totalmente preenchido. Assinale a alternativa que corresponde ao volume correto da esfera, em litros.
SAEP2015 - Ciclo 3
Um escultor confeccionou uma esfera metálica para a representação do globo terrestre, a fim de utilizá-la em um congresso de ambientalistas sobre o clima. Se o objeto for analisado em relação aos seus elementos, as interseções da superfície da esfera com seu eixo de rotação são chamadas de:
SAEP2015 - Ciclo 3
Uma esfera maciça metálica foi submetida ao calor e colocada em uma placa de isopor, a fim de abrir passagem para a instalação de uma fiação elétrica. Com o calor e com o peso da esfera, o isopor derrete formando um túnel, fazendo com que a esfera saia na outra extremidade da placa. Esse procedimento[br]para instalação de fiação é muito utilizado por empreiteiros norte-americanos, já que as paredes das casas possuem o isopor como isolante térmico dentro das paredes de madeira. A superfície esférica é gerada a partir da rotação de uma:
SAEP2015 - Ciclo 3
Felipe encontrou duas bolinhas de gude, uma verde e uma azul, que estavam guardadas em uma gaveta. Ao compará-las, percebeu que o volume da bolinha verde equivale a 1/27 da bolinha azul. Sabendo que a bolinha azul tem o raio de 12 milímetros, o raio da bolinha verde mede:
SAEP2016 - Ciclo 3
Encélado, a sexta maior lua de Saturno, é um dos mundos mais fascinantes do Sistema Solar. Os cientistas não param de se surpreender na medida em que novas informações são conhecidas sobre o astro. Agora a NASA (National Aeronautics and Space Administration – Administração Nacional da Aeronáutica e Espaço)[br]afirma que ele possui um oceano quente e global embaixo de sua crosta de gelo [...].[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/20/image8d59bfc76e1dd0a5.png[/img][br]Sabendo que o raio de Encélado tem como medida r = 252 km, ao observar a figura apresentada e supor que o ângulo diedro β da cunha meça 20°, o volume dessa cunha será de Dado: π = 3.
SAEP2016 - Ciclo 3
Para empinar uma pipa, Rafael vai usar um fio cilíndrico que achou na garagem de sua casa. O fio, de 0,5 mm de raio, estava enrolado formando uma esfera com 20 cm de diâmetro e sem nenhum espaço vazio.[br]Considerando que a esfera é formada apenas pelo fio e nada mais, ao desenrolar completamente o fio e esticá-lo em linha reta, seu comprimento total será de, aproximadamente,
SAEP2016 - Ciclo 4
Uma fábrica lançou um brinquedo de montagem no qual uma das peças tem o formato de uma esfera inscrita em um cone reto, conforme a figura a seguir:[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/image.png[/img][br]Tendo como base a figura e sabendo que, no cone, o raio é R = 3 dm, a altura é H = 4 dm e a geratriz é G = 5 dm, pode-se inferir que o raio da esfera inscrita no cone mede:
SAEP2016 - Ciclo 4
Em uma caixa cúbica, cuja aresta mede a, é colocada uma esfera que tangencia todas as paredes da caixa. Em seguida, despeja-se nessa caixa um líquido azul que ocupa todo o espaço da caixa não ocupado pela esfera. Depois, a caixa é esvaziada, e a esfera anterior é substituída pelo empilhamento de face centrada da maior quantidade possível de outras esferas de raio a/10. O espaço da caixa não ocupado pelas novas esferas é totalmente preenchido por um líquido vermelho. [br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/21/imagef0c7d7d3b15d7cf6.png[/img][br]Das quantidades de líquidos que foram colocados na caixa, pode-se garantir corretamente que o volume do líquido azul:
SAEP2017 - Ciclo 4
Tereza tem 12 netos e deseja repartir igualmente entre eles uma melancia. A fruta que tem para dividir é, praticamente, esférica, e ela pretende cortar cada fatia em forma de uma cunha esférica, conforme mostra a figura a seguir.[br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/22/image5e573d7bbb869444.png[/img][br]Supondo que o diâmetro dessa melancia seja igual a 36 cm, a área da casca da fatia que cada neto deve ganhar é igual a
SAEP2017 - Ciclo 4
Todos os anos, uma escola realiza uma feira multidisciplinar, na qual os alunos devem desenvolver e apresentar projetos que envolvam mais de uma área do conhecimento. Um dos grupos participantes dessa feira, com o intuito de representar as taxas de consumo de água em diversos países do mundo, construiu[br]uma esfera de raio r para representar o planeta Terra e uma caixa transparente, no formato de cilindro, com raio da base de medida r e altura de medida 2r, conforme mostrado a seguir. [br][img]http://ap.imagensbrasil.org/images/2018/05/22/imagebbed7d2688a9b49a.png[/img][br]Durante a apresentação, o grupo informou que o diâmetro da esfera era de 4 dm e propôs que os colegas imaginassem que a esfera estava cheia de água e seria estourada, liberando todo o seu conteúdo no cilindro. Depois, foi pedido que marcassem no cilindro a altura que a água chegaria. Para isso, alguns colegas calcularam o volume da esfera, o volume do cilindro e a altura pedida, obtendo, respectivamente,[br]a) [br]b)[br]c)[br]d) [br]e)