Der kan være andre sammenhænge, der kan beskrives med eksponentielle udviklinger, end sammenhænge med tid - selvom der er mange eksponentielle sammenhænge, der faktisk har tid som uafhængig variabel.[br]Men vi kunne da også kalde det halverings[b]konstant![br][/b]Og når vi nu er ved det, så taler vi om "halvering" når den eksponentielle udvikling [math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math] er [b]aftagende[/b] (hvilket den var, når 0<[i]a[/i]<1). Men da vi jo også har eksponentielle udviklinger, der er [b]voksende[/b], ser vi i disse tilfælde på en [b]fordoblingstid[/b], eller - mere generelt - en [b]fordoblingskonstant[/b].

Flyt udgangspunktet hen 2-3 steder. Læg mærke til højden ([i]y[/i]-værdien) af det grønne punkt. [br]For hvert af de steder, du har valgt: Hvor højt ligger den røde pil over det grønne punkt?[br]

I app'en herunder kan du flytte det grønne punkt og ændre parameterværdier på skyderne for [i]a[/i] og [i]b[/i].[br]a) Hvad får [b]længden af[/b] [i]T [/i]til at ændre sig?[br]b) Hvad kan du ændre på [b]uden[/b] at [i]T [/i]bliver længere/kortere? - Kan du ændre [i]a[/i]? - Kan du ændre [i]b[/i]? - Kan du ændre [i]x[/i] (ved at flytte det grønne punkt), uden at [i]T [/i]bliver længere/kortere?[br]c) Benyt appen herunder til at bestemme fordoblingstiden for funktionen [math]f\left(x\right)=3\cdot\text{6.93147}^x[/math]

Enten udfører du Vækst-regression i GeoGebra-appen herunder, eller du udfører eksponentiel regression på de samme data i Excel ved at hente det ark, der linkes til under (a).[br][list=a][*]Hent [url=https://www.dropbox.com/s/s9kzl8ztavhq1za/%C3%98lskum.xlsx?dl=0]denne Excel projektmappe[/url] i min Dropbox.[i] Det kan svare sig at arbejde parvis her (ellers mangler du også en at skåle med, når I kommer til feltarbejdet!)[/i][/*][br][*]Udfør eksponentiel regression for at bestemme parameterværdier på den eksponentielle udvikling for hver ølart. I Excel kaldes regressionslinjen for en (eksponentiel) Tendenslinje. Sørg for at vise ligningen for funktionen i diagrammet (sæt flueben)! Omregn om nødvendigt fra [math]b\cdot e^{^{^{k\cdot x}}}[/math] til [math]b\cdot a^{^x}[/math] ved at bruge potensregnereglen med [math]\left(a^{^m}\right)^{^n}=a^{^{m\cdot n}}[/math].[/*][br][*]Bestem, hvor lang tid det tager (for hver ølart), før skummet er faldet til det halve.[br][/*][/list]

Hent [url=https://www.dropbox.com/s/ee45jcrozvjjjrd/Eksponentiel%20regression%20-%20afk%C3%B8ling.docx?dl=0]Word-dokument her[/url]. Fra dokumentet kan data let kopieres til Excel.[br][size=85]Har du ikke Excel, Word eller nogle af de andre Office-programmer, kan du installere det med licens fra skolen.[br][/size]

Givet et grundtal [math]0<a<1[/math] i den eksponentielle udvikling vil der være et [i]T[/i], man kan lægge til den [b]uafhængige[/b] variabel, så den [b]af[/b]hængige variabel - funktionsværdien - falder til netop [b]det halve[/b]. Vi kan altså sige . Skridtlængden [i]T[/i] afhænger alene af grundtallet [i]a[/i], og vil derfor være det samme overalt på funktionens graf, og den [color=#38761D]fastlægges ved [/color][math]T=\frac{\log\left(\frac{1}{2}\right)}{\log a}[/math].

Vi har funktionsforskriften [math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math] og indsætter sætningens to udtryk for "halv funktionsværdi" på hver side af et lighedstegn:[br][math]\frac{1}{2}\cdot b\cdot a^{x_0}=b\cdot a^{^{x_0+T}}[/math][br]Her kan vi reducere, idet faktoren [i]b[/i] fremgår på begge sider af lighedstegnet. Vi dividerer derfor med [i]b[/i]:[br][math]\frac{1}{2}\cdot a^{^{x_0}}=a^{^{x_0+T}}[/math][br]Med potensregnereglen for produkt af potenser med samme fortegn fås[br][math]\frac{1}{2}\cdot a^{^{x_0}}=a^{^{x_0}}a^{^T}[/math][br]Igen kan vi reducere, og får udtrykket[br][math]\frac{1}{2}=a^{^T}[/math][br]Med kendt grundtal fremstår udtrykket som en eksponentiel ligning. Denne logaritmeres:[br][math]\log\left(\frac{1}{2}\right)=\log\left(a^{^T}\right)[/math][br]Med reglen om logaritme af potens fås[br][math]\log\left(\frac{1}{2}\right)=T\cdot\log a[/math][br]Herfra kan vi isolere [i]T[/i] :[br][math]T=\frac{\log\left(\frac{1}{2}\right)}{\log a}[/math][br]Hvilket afslutter beviset.[br]Afslutningsvis kan bemærkes, at [math]\log\left(\frac{1}{2}\right)=-\log2[/math].[br]Desuden skal bemærkes, at man på lignende vis kan udforme en sætning (og et bevis), som omhandler [b]voksende eksponentielle udviklinger[/b]. For de voksende funktioners vedkommende vil man tale om [b]fordobling[/b] hvor vi ovenfor har talt om halvering.

[list][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_decay#Applications_and_examples]Wikipedia (en): Exponential decay[/url], der fx henviser til en undersøgelse af [url=http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/23/1/304/meta]ølskum[/url][/*][*]Webmatematik har [url=http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/funktioner/fordoblings-og-halveringskonstant]dette[/url][/*][/list]