[i][b]Die bizirkulare Quartik - Gleichung allgemein:[/b][br][list][*][size=85] [/size][math]q(z)=\alpha_8\cdot \left(z\bar z\right)^2+\left(\alpha_7\cdot x+\alpha_6\cdot y\right)\cdot z\bar z+\alpha_5\cdot x^2+ \alpha_4\cdot y^2+\alpha_3\cdot xy+\alpha_2\cdot x+\alpha_1\cdot y+\alpha_0=0[/math] [size=85]mit[/size] [math]\alpha_0,\,...\,,\alpha_8\in\mathbb{R}[/math][br][/*][/list][size=85]Zu diesen Kurven gehören die [color=#980000][i][b]Produkte[/b][/i][/color] aus 2 [color=#ff7700][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/color] ([math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]bizirkular[/b][/i][/color]!), [b]CARTESISCHE[/b] Ovale - das sind [color=#980000][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], auf welchen [math]\infty[/math] liegt, [b]CASSINI[/b]-Kurven (die Determinante der zugehörigen [b]HERMITE[/b]schen Abbildung verschwindet!),[br]und last not least gehören die [color=#980000][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] und ihre Bilder unter [b]MÖBIUS[/b]-Transformationen dazu![br]Nicht unerwähnt [/size][size=85]bleibe hier, dass diese [color=#980000][i][b]Kurven[/b][/i][/color] stets in einer konfokalen Kurvenschar auftreten - sie lassen sich als die Kurven [math]x=const[/math] [/size][size=85]und [math]y=const[/math] einer geeigneten komplex-differenzierbaren Funktion [math]f\left(z\right)=f\left(x+i\cdot y\right)[/math] beschreiben.[br]Charakteristisch für diese Funkionen ist, dass sie einer [color=#274E13][i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i][/color] des Typs [list][*][math]f'^2=c\cdot\left(f-e_1\right)\cdot\left(f-e_2\right)\cdot\left(f-e_3\right)\cdot\left(f-e_4\right)[/math] genügen; die komplexen Punkte [math]e_1,..,e_4[/math] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]![br][i][size=85][b][/b][/size][/i][/*][/list][i][b][br]Spezielle Gleichungen für achsensymmetrische bizirkulare Quartiken:[/b][/i][/size][br][/i][list][*]Normal-Parabel: ............ [math]y-x^2=0[/math][br][br][/*][br][*]Ellipse: ............................... [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0[/math][/*][br][*]Hyperbel: ......................... [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0[/math][/*][br][*]Einteilige Quartik: ......... [math]\left(x^2+y^2\right)^2-a^2\cdot x^2+b^2\cdot y^2-1=0[/math][/*][br][*]Zweiteilige Quartik: ..... [math]\left(x^2+y^2\right)^2-a^2\cdot x^2+b^2\cdot y^2+1=0[/math]  [br][/*][/list][br][br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]Gebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right]Man vergleiche hirzu auch das [color=#980000][i][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra-Book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc][color=#0000ff][i][b]Kugel-Kegel-Schnitte[/b][/i][/color][/url].[/size]