Análisis
Inhoudstafel
- Límites y continuidad
- Concepto de límite
- Límites laterales, límite, continuidad
- Límite de una función en un punto
- Límite finito en el infinito
- Derivada y sus aplicaciones
- Concepto de Tasa de Variación Media, derivada y recta tangente
- Teorema de Rolle
- Cálculo integral
- Integral de Riemann
- Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
- Propiedad de la integral definida
Concepto de límite
Este concepto es de los que más nos cuesta entender. La idea consiste en ver que por muy pequeño que yo coja un entorno alrededor de[i][b] L [/b][/i](radio [math]\epsilon[/math]), siempre puedo encontrar un entorno alrededor de [i][b]a[/b][/i] (radio [math]\delta[/math]) de tal forma que la imagen de cualquier punto del entorno de [i][b]a[/b][/i] ([math]\left(a-\delta,a+\delta\right)[/math]) está dentro del entorno de [i][b]L[/b][/i] ([math]\left(L-\epsilon,L+\epsilon\right)[/math]). Vamos a enredar:[br][list][*]Prueba a mover el deslizador que pone "Mueve punto" y veras que la imagen de todos los puntos que están en el entorno de [i][b]a[/b][/i] está dentro del entorno de[i][b] L[/b][/i]. El valor de [math]\delta[/math] lo he elegido yo, por supuesto cualquier valor más pequeño valdría.[/*][*]Mueve el deslizador "Valor de [math]\epsilon[/math]" y verás que canto más pequeño lo haces va cambiando, también a más pequeño el valor de [math]\delta[/math] y por tanto el entorno de [i][b]a[/b][/i], pero aún así la imagen de todos los puntos de dicho entorno están dentro del entorno de [i][b]L[/b][/i].[br][/*][/list]
Concepto de Tasa de Variación Media, derivada y recta tangente
La tasa de variación media no es otra cosa que la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math] y [math]\left(b,f\left(b\right)\right)[/math], es decir, [math]TVM\left[a,b\right]=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math]. Puedes observarlo en la animación. [br]Conforme [b][i]b[/i][/b] se va acercando a [b][i]a [/i][/b]va cambiando la Tasa de Variación Media. En el límite, es decir, cuando b está muy próximo a a[br][br][list][*] ¿Hacia qué tiende la recta secante?[/*][*]¿Hacia qué tenderán las pendientes de las rectas secantes?[/*][/list][br] Llamamos derivada al valor de ese límite, que podemos expresar de dos formas. Pincha en Forma a+h / b-a. Las dos ideas son la misma. [br][br][br]¿Con que coincide el valor de la derivada?[br][br]¿Cuál será la ecuación de la recta tangente?
Integral de Riemann
Sabemos hacer áreas de rectángulos, triángulos, rombos, ..., pero hacer el área que se encierra bajo esa curva es otra cosa. Pulsa sobre "Ver área" para ver cuanto vale.[br]Ten en cuenta que el cálculo integral que ahora utilizamos es relativamente reciente, de hecho, el método que ahora vamos a plantear se le ocurrió a [b]Bernhard Riemann [/b]hace menos de 200 años. El caso es que es lógico. Vamos a comentarlo. A él se le ocurrió acudir a las figuras más sencillas que conocía, los rectángulos. Se dijo, si yo divido el intervalo en trozos y monto unos rectángulos que lleguen al valor minimo de la función en ese trozo y sumo sus áreas, ... Y porque no el valor superior. Vamos a seguir su razonamiento:[br][br][list][*]Pincha sobre "ver suma inferior" y veras que te aparece. ¿Qué ocurre si muevo el deslizador y aumento el número de rectángulos? ¿Se acerca o se aleja del valor del área?[/*][*]Pincha sobre "ver suma superior" y veras que te aparece. ¿Qué ocurre si muevo el deslizador y aumento el número de rectángulos? ¿Se acerca o se aleja del valor del área?[/*][*]Si el número de divisiones del intervalo tendiera a infinito, ¿qué crees que pasaría?[br][/*][/list]