[size=200]Allgemeines Prinzip[/size][br]Bilde die Einheitsbasis e1,e2,e3 ab und setze die Bildvektoren e1',e2',e3' zur Abbildungsmatrix zusammen.[br]Spiegelung an einer Ursprungsebene mit dem Normalenvektor [br][br][list][*][math]\vec{n}=\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right) \longrightarrow E:\vec{x}=\vec{n}\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=0[/math][br][/*][*]berechene über HNF den Abstand d eines Urbildpunktes p ( [math]d=\frac{n}{\sqrt{n^2}}\cdot p[/math]) [br][/*][/list][list][*]gehe von Urbild p den doppelten Abstand auf die "andere" Seite der Ebene zum Bildpunkt in Richtung des normierten Normalenvektors [br][br] [math]p-2\left(\frac{n}{\sqrt{n^2}}\cdot p\right)\ast\frac{n}{\sqrt{n^2}}[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]p'=p-2\frac{n\cdot p}{n\cdot n}\ast n[/math][br][/*][/list][br]Das Zusammensetzen der Bildvektoren ist aweng schreibintensiv Zeilen 8,9,10, [br][color=#444444][code][/code][code]Transpose({Flatten(e1'),Flatten(e2'),Flatten(e3')})[/code][/color][br]deshalb das algebraische Verfahren: Matrixaufstellen, Abbildungsgleichungen lösen und einsetzen = Spiegelmatrix S (diagonal symmetrisch). Die Determinante einer Spiegelungsmatrix: Determinante(S)=-1.

Die Funktion [br]SP(no,vo):=vo-2Dot(vo,no)/Dot(no,no)*no[br]berechnet das Spiegelbild von vo an einer Ursprungsebene mit Normalenvektor no. [br]Die Funktion [br]GS(po,oo,ro):=2 (oo+(Dot(po-oo,ro))/(Dot(ro,ro))*ro)-po[br]berechnet das Bild von po an einer Geraden g: oo + t ro [br][br][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon]Die Eingabe ins CAS muss mit "Behalte Eingabe" erfolgen[br][br]Spiegelung an beliebiger Ebene:[br][br]Translationsvektor: Verschiebe einen Spurpunkt der Ebene E in den Ursprung, z.B. zAchse[br]z.B. E: 2 x - y - z = 2[br][br][code]T:=Substitute((0,0,z), Solve(Substitute(E, {x=0,y=0}),z))[br]vo':=SP(no,vo-T)+T[/code][br][code][/code][br][math]2 \; x - y - z = 2 \Longrightarrow T_z:=(0,0,-2) \Longrightarrow A'':=SP((2,-1,-1),A-T_z)+T_z[/math][br][br]Spiegelungsmatrix S ([size=85]für Ursprungsebene[/size])[br]Bilde Basisvektoren ab [br][code]S:=Transpose({[br]Flatten(Vector(SP((2,-1,-1),(1,0,0)))),[br]Flatten(Vector(SP((2,-1,-1),(0,1,0)))),[br]Flatten(Vector(SP((2,-1,-1),(0,0,1))))})[br]A'':=Vector(S (A-T)) + T; Point Result[br]a:=S Vector((A-T)) + T; Vector Result[br][/code][color=#980000]Achtung [/color]Addition Matrix Vektor + Translationsvektor [br][math]\small S \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{array}\right)\\[br]A' \, := \, Vector \left(S \; \left(A - T \right) \right) + T\\[br]A' \, := \, \left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}, 3 \right)\\[br]a \, := \, S \; Vector \left(A - T \right) + T\\[br]a \, := \, \left( \begin{tabular}{r}\frac{9}{2}\\-\frac{1}{2}\\ 3\\ \end{tabular} \right) [br][/math][br][br][size=50]SpiegelungAnUrsprungsebene.ggb[/size]