По основаниям a, b трапеции определить расстояние между точками, делящими боковые стороны в отношении m, считая от основания a.

[b]Решение 1:[/b][br]По условию [math]\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}[/math][br]Из условия следует, что MN параллельна сторонам AD и BC.[br]Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке P.[br]Треугольники BPC, MPN и APD подобны.[br]Из подобия треугольников BPC и MPN следует:[br][math]\frac{BP}{MP}=\frac{BC}{MN}[/math][br][br]BC = b по условию. Обозначим MN=x.[br]Пропорцию можно переписать в виде:[br][math]\frac{BP}{MP}=\frac{b}{x}[/math][br]Значит, чтобы найти x, нам нужно найти стороны BP и MP.[br][br]Обозначим MB как у, тогда по условию AM=m*y.[br]Из подобия треугольников BPC и APD следует:[br][math]\frac{BP}{AP}=\frac{BP}{AM+MB+BP}=\frac{BP}{my+y+BP}=\frac{b}{a}[/math][br]Из пропорции выводим значение BP:[br][math]BP=\frac{b\times\left(1+m\right)\times y}{a-b}[/math][br][br][math]PM=PB+MB=y+\frac{b\times\left(1+m\right)\times y}{a-b}=\frac{a\times y-b\times y+b\times y+b\times m\times y}{a-b}=\frac{\left(a+b\times m\right)\times y}{a-b}[/math][br][math]x=\frac{MP\times b}{BP}=\left(\frac{\left(a+b\times m\right)\times y}{a-b}\right)\times b\div\left(\frac{b\times\left(1+m\right)\times y}{a-b}\right)=\frac{\left(a+b\times m\right)\times y\times b\times\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\times b\times\left(1+m\right)\times y}=\frac{a+b\times m}{1+m}[/math]