ポンスレの閉形問題

Bunryu Kamimura, Jan 23, 2016

１８１７　ポンスレPoncelet ポンスレの閉形問題「[b]２円ＯとＩで、Ｏに内接してＩに外接するｎ角形を作図せよ。[/b]」 定円に内接する三角形の２辺が別の定円に接して動くとき、残りの辺も接する。 接線が閉じている（同じ円錐曲線上にある）ので閉形問題（定理）という。 三角形の場合の作図は簡単。 では四角形ではどうだろうか？

Table of Contents

  1. ポンスレの問題
    1. ポンスレの問題
    2. 内接四角形と外接四角形
  2. 三角形
    1. Poncelet's theorem
    2. ポンスレの定理
    3. Ａに外接しＢに内接する三角形
    4. 2円に内接・外接する三角形の重心
    5. 楕円（円錐曲線）の外接三角形
  3. 四角形
    1. ポンスレの問題　四角形
    2. ポンスレの問題　４角形の証明
    3. 二円に外接・内接する四角形の重心
    4. ポンスレの定理楕円
  4. ｎ角形
    1. パスカルの定理　Pascal's　theorem
    2. 円の外接六角形
    3. Brianchon's theorem

1.

ポンスレの問題

ポンスレの閉形問題 「[b]２円ＯとＩで、Ｏに内接してＩに外接するｎ角形を作図せよ。[/b]」

  • 1. ポンスレの問題
  • 2. 内接四角形と外接四角形

1.1.

ポンスレの問題

内円に外接し外円に内接するには点Ｅをどうとればいいのだろうか？　まず三角形でやってみよう。三点を通る円は簡単に求まる。四角形の場合は、内接四角形であり外接四角形である四角形を作ればいい。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

2.

三角形

この作図は簡単であるが、問題は内接円と外接円の関係である。どんな関係があるのだろうか。

  • 1. Poncelet's theorem
  • 2. ポンスレの定理
  • 3. Ａに外接しＢに内接する三角形
  • 4. 2円に内接・外接する三角形の重心
  • 5. 楕円（円錐曲線）の外接三角形

2.1.

Poncelet's theorem

ポンスレの定理[br]これは作成してみるとわかる。[br](１)円に外接する三角形を作成する。[br](２)その３頂点を通る円を作る。[br](３)今度はその円周上の点から内円に接線を引く。[br]すると・・・
Poncelet's theorem
どうやって作成したのでしょうか？
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

四角形

三角形は簡単に作図できた。 それは、どんな三角形も円に内接したり、外接するからだ。 では、四角形はどうだろうか。 そもそも円に内接する四角形は特別であり、同様に外接する四角形も特別な四角形だ。

  • 1. ポンスレの問題　四角形
  • 2. ポンスレの問題　４角形の証明
  • 3. 二円に外接・内接する四角形の重心
  • 4. ポンスレの定理楕円

3.1.

ポンスレの問題　四角形

例によって、もし内接して外接する四角形が画けたとすると、どんなことが言えるのかを考える。一番外側の四角形ＢＣＤＥは対角線が直交し、向かい合う角の和が１８０度である。
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

ｎ角形

まずは６角形の場合を考えてみよう。 さらに、５角形だったら・・・ 次から次へと問題が浮かんでくる。

  • 1. パスカルの定理　Pascal's　theorem
  • 2. 円の外接六角形
  • 3. Brianchon's theorem

4.1.

パスカルの定理　Pascal's　theorem

パスカルの定理[br]パスカルはこれを円で証明してから楕円に投影しました。[br]パスカル１７歳の時のことでした。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

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