Lugares geométricos 4
En la construcción mostrada en la Figura 1, se han trazado una recta [i]m[/i] y un punto Q sobre ella, además un punto A exterior a la recta y una perpendicular a la recta [i]m[/i] que pasa por el punto Q, también el segmento AQ y la recta mediatriz a este segmento. La perpendicular a [i]m[/i], trazada por Q y la mediatriz al segmento AQ se intersecan en un punto P.[br][br]
Figura 1
1. El applet siguiente es la construcción dinámica de la Figura 1, en la que el punto Q puede ser arrastrado sobre la recta [i]m[/i].[br][br]
a) Arrastre el punto Q y observe la trayectoria que sigue el punto P, describa la curva que traza el punto P al arrastrar Q.[br][br]
b) En la siguiente tabla separe las magnitudes (medidas de segmentos, ángulos, etc.) que varían y las que no varían al arrastrar el punto Q.
b1) Magnitudes que permanecen fijas
b2. Magnitudes que varían
c) Entre las magnitudes que están variando, ¿cuáles permanecen iguales entre sí, a pesar de la variación?[br][br]
d) Investigue cuál es la definición de parábola como lugar geométrico y argumente con base en el comportamiento de las magnitudes de la construcción (Figura 1), por qué la curva trazada por P al arrastrar Q, es efectivamente una parábola.[br][br]
2. El applet siguiente ha sido construido con base en el anterior, trazando sobre él los triángulos AOQ y QMP, se ha trazado además desde el punto A una recta perpendicular a OQ.[br][br]
a) Arrastre el punto Q y observe los triángulos AOQ y QMP, estos triángulos cambian al mover el punto Q, pero conservan algunas características. Describa cuáles son las características que conservan. [br][br]
b) Al arrastrar el punto Q, los lados de los triángulos AOQ y QMP varían, excepto el lado AQ, ¿por qué?
c) Los triángulos AOQ y QMP se conservan semejantes al mover Q. Ofrezca una justificación geométrica de esta semejanza.[br][br][br]
d) Exprese la hipotenusa AQ en términos de [i]a[/i] y [i]t[/i].[br][br][br]
e) Exprese MQ en términos de [i]a [/i]y [i]t[/i]. Use para ello el hecho de que M es el punto medio de AQ, ¿por qué M se mantiene como punto medio de AQ?[br][br][br]
f) Use la semejanza de los triángulo AOQ y QMP para establecer una relación algebraica entre las variables [i]s [/i]y [i]t[/i].
3. Ahora veremos otra manera de buscar la ecuación de esta curva, utilizando el plano cartesiano. Obsérvese que en el applet anterior, el punto O ha sido tomado como referencia y las variables [i]s[/i] y [i]t [/i]se miden a partir de este punto. La distancia [i]t[/i] (OQ) se toma sobre una recta que pasa por O y la distancia [i]s[/i] sobre una perpendicular a la recta OQ, que pasa por Q. Entonces ubicaremos la construcción anterior tomando el punto O en el origen del sistema de coordenadas y la recta OQ como el eje X. El applet[br]resultante es el siguiente:[br][br]
Ahora traduciremos lo hecho hasta aquí, a las coordenadas x y y. Tal como se ha visto antes y como usted puede verificar en el applet, al arrastrar Q, se mantienen iguales entre sí las distancias AP y PQ, es decir se cumple para todo P que:[br][br]AP = PQ[br][br]Si OQ =x y PQ=y, entonces al punto P que traza la curva le podemos asignar las coordenadas genéricas (x,y). Esto nos permite escribir la distancia entre A(4,0) y P(x,y), como [math]AP=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-4\right)^2}[/math] [br] y la distancia PQ=y. Luego la ecuación anterior puede escribirse como:[br][br] [math]\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-4\right)^2}=y[/math][br] [br]
a) Simplifique esta ecuación lo más que pueda y escríbala aquí:
b) Descargue el applet anterior y despliegue la vista llamada Cálculo Simbólico (CAS). Capture en el primer renglón de esta vista el comando EcuaciónLugar(P,Q) y luego oprima la tecla “enter”, GeoGebra[br]le dará una ecuación del lugar geométrico de la curva. En pantalla la ecuación se mostrará como en la Figura 2:[br][br]
Compare la simplificación de la ecuación que usted ha obtenido y compárela con la que arroja GeoGebra, ¿cuál es la diferencia?[br][br][br]
c) La ecuación [math]x^2-8y=-16[/math] representa algebraicamente la parábola que hemos trazado. Haga x=0 en esta ecuación y resuelva la ecuación [math]-8y=-16[/math] para obtener el valor de y. ¿Qué significa este valor en la gráfica?
d) Ahora haga y=0 en la ecuación [math]x^2-8y=-16[/math] y trate de resolver la ecuación [math]x^2=-16[/math] ¿Qué significado gráfico tendrá la inexistencia de raíces reales para esta ecuación?[br][br][br]