Die Möbiuskugel [b]Q[/b] im Raum [math]\mathbb{P}_3\left(\mathbb{R}\right)[/math] werde von einer zweiten Quadrik geschnitten. Die Kurven, die dabei entstehen, werden als [math]C_1^{\left(4\right)}[/math], Raumkurven 4. Ordnung 1. Art bezeichnet ([i][b]v. d. Waerden[/b][/i] [b][WAER2][/b]).[br]Wir wollen, ohne ins Detail zu gehen, zeigen, wie diese Kurven im Geradenraum durch [i][b]HERMITE[/b][/i]sche Formen beschrieben werden. [br]Zu den Bezeichnungen vergleiche man auch die Abschnitte [b]3.1[/b] und [b]3.2[/b].[br][br]Ist in [math]V_4\left(\mathbb{R}\right)[/math] neben der Möbiusform [math]\langle\;,\,\rangle[/math] mit der Signatur (+,+,+,-) eine 2.te symmetrische Bilinerform gegeben, so kann man dieser eine bez. [math]\langle\;,\,\rangle[/math] selbstadjungierte Abbildung [math]J[/math] mit [math]\langle J\vec{v},\vec{u}\rangle= \langle \vec{v},J\vec{u}\rangle[/math] zuordnen.[br]Für die Punkte [math]\vec{v}[/math] auf dem Quadrikschnitt muss also [math]\langle \vec{v},\vec{v}\rangle=\langle J\vec{v},\vec{v}\rangle=0[/math] gelten.[br]Wir übertragen diese selbstadjungierte Abbildung in den Geradenraum [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] mittels der [i]Derivierten[/i] [math]\partial J[/math], welche als reell-lineare Fortsetzung der Vorschrift [math] \partial J\;\vec{u}\wedge\vec{v} :=\frac{1}{2}\cdot\left(J\vec{u} \wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge J\vec{v}\right)[/math] definiert wird.[br]Die Abbildungen des Büschels [math] J-\lambda\cdot \mathbf{Id}[/math] erzeugen denselben Quadrikschnitt, also kann man [math]J[/math] so wählen, dass [math]\mathbf{Spur}(J)=0[/math] gilt.[br][list][*]Die Derivierte [math]\partial J[/math] ist unter dieser Voraussetzung reell linear, selbstadjungiert bezüglich der Möbiusform und schief-adjungiert bezüglich der [i][b]PLÜCKER[/b][/i]-Form, kurz: [math]H=\partial J[/math] ist eine [i][b]HERMITE[/b][/i]sche Abbildung [math]H: \mathbf\mathcal{G} \longrightarrow\mathbf\mathcal{G}[/math] mit [list][*][math]H\circ i=-i\circ H[/math] und [/*][*][math]H\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec\hat{{g}}=\overline{\mathbf\vec{g}\bullet H\mathbf\vec\hat{{g}}}[/math] für alle [math]\mathbf\vec{g},\mathbf\vec\hat{{g}}\in\mathbf\mathcal{G}[/math][/*][/list][/*][*]Die Derivation [math]\partial : \mathfrak{S}_1\,^0 \longrightarrow\mathfrak{H} [/math] ist [i][b]bijektiv[/b][/i]; [math]\mathfrak{S}_1\,^0[/math] bestehe hierbei aus allen selbstadjungierten Abbildungen in [math]V_4\left(\mathbb{R}\right)[/math] mit Spur 0, und [math]\mathfrak{H} [/math] aus allen [i]HERMITE[/i]schen Abbildungen von [math]\mathbf\mathcal{G}[/math]. Beide Räume sind reell 9-dimensional. [br][/*][*]Eine Berührgerade [math]\mathbf\vec{p}\in \mathbf\mathcal{G}[/math] ist genau dann tangential an die Schnittkurve der beiden Quadriken, wenn neben [math]\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}=0 \mbox{ und }\partial J\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=H\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math] gilt: [math]H\mathbf\vec{p}\bullet H\mathbf\vec{p}=\overline {H^2\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}}>0[/math].[/*][*]Da für jedes [math]H\in\mathbf\mathfrak{H}[/math] das Quadrat [math]S=H^2[/math] eine selbstadjungierte symmetrische komplex-lineare Abbildung auf [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] ist, schließt sich der Argumentations-Kreis: Der Schnitt der Möbiusquadrik mit eine 2.ten Quadrik wird im Geradenraum durch eine [i]HERMITE[/i]sche Form [math]H[/math] beschrieben. Die dazugehörende bizirkulare Quartik ist Integralkurve des durch [math]S=H^2[/math] definierten quadratischen Feldes. [br][/*][/list][b][u][i]Fazit:[/i][/u][/b] Wir können nun zeigen: Besitzt die zu einem quadratischen Vektorfeld gehörende selbstadjungierte Abbildung [math]S[/math] (bei geeigneter komplexer Normierung) eine [i]HERMITE[/i]sche Wurzel [math]H[/math] mit [math]H^2=S-\lambda\cdot\mathbf{Id}[/math], so besitzt das quadratische Vektorfeld ein orthogonales Netz von [i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i] als Lösungskurven. Brennpunkte sind die Nullstellen des Vektorfeldes. Diese Kurven entstehen als Schnitt der Möbiuskugel mit einer speziellen Schar von Quadriken.[br]Da das Quadrat einer [i]HERMITE[/i]schen Abbildung zu reellen Invarianten führt, kann eine selbstadjungierte Abbildung [math]S[/math] nur dann eine [i]HERMITE[/i]sche Wurzel besitzen, wenn die absolute Invariante der Brennpunkte reell ist. Anders gesehen: eine quadratisches Vektorfeld kann nur dann bizirkulare Quartiken als Lösungen besitzen, wenn es mindestens eine Kreis-Symmetrie besitzt (siehe den Abschnitt [b]4.7[/b] über die Lage von 4 Punkten).[br][br]Bizirkulare Quartiken sind geschlossene Kurven. Elliptische Funktionen sind doppeltperiodische Funktionen, also besitzen sie in speziellen Richtungen geschlossene Lösungskurven.[br]Von welcher Art diese geschlossenen Kurven im Falle einer elliptischen Funktion mit [i]nicht-reeller[/i] absoluten Invariante sind, ist uns gänzlich unbekannt. Selbst in der "Bibel" über [b]Spezielle ebene Kurven[/b] von [i][b]H. Wieleitner[/b][/i] [b][WIEL][/b] sind wir nicht fündig geworden.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]