Il teorema dei seni è una relazione trigonometrica, cioè riguarda il legame tra gli elementi di un triangolo; in particolare afferma che [b][color=#ff0000]in qualsiasi triangolo il rapporto tra il seno di uno degli angoli ed il lato opposto a quell'angolo dà sempre lo stesso risultato (è costante). qualunque sia la coppia[i] lato-angolo opposto[/i] considerata[/color][/b]. [br][br][math]\Large{\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}}[/math]

Per poter dimostrare il teorema dei seni dobbiamo [b]inscrivere il triangolo in una circonferenza[/b] e studiare le[b] proprietà degli angoli all'interno di una circonferenza[/b]. Se non hai mai affrontato questi argomenti, o se hai bisogno di ripassarli, puoi fare riferimento a questa pagina:[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/rpg4NFZh]https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/rpg4NFZh[/url][br][br]Una volta acquisite queste informazioni, possiamo metterle insieme per ricavare la relazione cercata descritta dal teorema, come mostrato nell'animazione qui sotto.

[size=150][color=#ff0000]APPLICARE IL TEOREMA DEI SENI[/color][/size][br]La formula che abbiamo appena dimostrato è piuttosto semplice, e quindi viene naturale utilizzarla il più possibile per risolvere i triangoli e trovare gli elementi mancanti. Puoi notare facilmente che [color=#ff0000][b]il teorema dei seni è utile quando si riescono ad individuare due coppie, ognuna formata da un lato ed il corrispondente angolo opposto, di cui si conoscono tutti gli elementi tranne uno[/b][/color].[br][br]Ad esempio se conosciamo la misura di [math]\large{b,\ \beta}[/math] e [math]\large{\alpha}[/math] possiamo ricavare la misura del lato [math]\large{a}[/math] considerando la seconda uguaglianza della catena, evidenziata in rosso[br][br][math]\large{\textcolor{red}{\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b}} = \frac{\sin \gamma}{c}\quad \left [\ = \frac{1}{2r}\right ]}[/math][br] [br]invertendo la formula e ricavando [math]\large{a}[/math]:[br][br][math]\large{\textcolor{red}{\textcolor{#009900}{a \cdot}\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b}}\textcolor{#009900}{\cdot\ a}\qquad \longrightarrow\qquad a = \sin \alpha \cdot \frac{b}{\sin \beta}}[/math][br][br]Il risultato è univoco, perchè ai due angoli [math]\alpha \mbox{ e } \beta[/math] il seno associa univocamente uno ed un solo risultato e quindi non ci sono possibili ambiguità.[br][br]Lo vediamo in questo video.[br]

Lo strumento utilizzato nel video è l'applet qui sotto, che puoi usare anche tu per fare le tue prove e toccare con mano che è sempre possibile trovare un lato compatibile con i dati in nostro possesso.

[color=#ff0000]Se invece vogliamo [/color][br]Se invece vogliamo utilizzare il Teorema dei Seni per ricavare un angolo sarà necessario fare qualche considerazione in più. Ad esempio se conosciamo la misura di [math]\large{a,\ b}[/math] e [math]\large{\alpha}[/math] possiamo ricavare il seno di [math]\large{\beta}[/math] considerando l'uguaglianza della catena che coinvolge i dati di interesse ed invertendola[br][br][math]\large{\textcolor{red}{\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b}} = \frac{\sin \gamma}{c}\quad \left [\ = \frac{1}{2r}\right ]}[/math][br] [br][math]\large{\textcolor{#009900}{b \cdot}\textcolor{red}{\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b}}\textcolor{#009900}{\cdot b } \qquad \longrightarrow \qquad \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{a} \cdot b}[/math][br][br][b][color=#ff0000]È essenziale notare che in questo modo ricaviamo [u]il seno di[/u] [/color][/b][math]\mathbf{\large{\textcolor{red}{\beta}}}[/math][b][color=#ff0000], [u]NON [/u][/color][/b][u][math]\large{\mathbf{\textcolor{red}{\underline{\beta}}}}[/math][/u][b][color=#ff0000][u] stesso[/u], e dato il valore di [/color][/b][color=#ff0000][math]\large{\mathbf{\textcolor{red}{\sin \gamma}}}[/math][b] ci sono [u]infiniti[/u] angoli che hanno quel seno.[/b][/color] [br][br]Questo ci pone di fronte a due problemi: [br][list=1][*]se il valore con cui calcoliamo [math]\large{\sin \beta}[/math], cioè [math]\large{\frac{\sin \alpha}{a} \cdot b}[/math], è [b]maggiore di 1[/b], esso è chiaramente non accettabile perché il seno di un angolo vale al massimo 1 in valore assoluto e quindi [b]non esiste un triangolo compatibile con i dati forniti[/b]. [br][br][/*][*]se invece il valore di [math]\large{\sin \beta}[/math] invece è accettabile, sappiamo che esistono infiniti angoli [math]\large{\beta}[/math] che hanno quel seno. Limitandoci a quelli compatibili con un triangolo (escludendo cioè quelli negativi e quelli maggiori di 180°), la teoria degli archi associati ci indica due possibili valori: il valore acuto [math]\large{\beta_1}[/math] fornito dalla funzione arcoseno (o dalla calcolatrice) ed il suo associato supplementare [math]\large{\textcolor{red}{180°-\gamma}}[/math], che come sappiamo ha lo stesso seno. [b]Si tratta quindi di capire in quali situazioni possiamo accettare entrambe le soluzioni d in quali dobbiamo limitarci ad una sola di esse[/b][/*][/list][br]Riassumendo, quando utilizziamo il Teorema dei Seni per ricavare un angolo di un triangolo è possibile ottenere 0, 1 o due risultati. Vediamo nel video qui sotto come distinguere le varie casistiche.

Trovi qui sotto un costruttore di problemi, una versione arricchita dell'applet utilizzata nel video, con cui potrai verificare quanto detto ma anche allenarti a calcolare un angolo mancante utilizzando il Teorema dei Seni.

Riassumendo:[br][br]Se otteniamo [b]un valore per il seno maggiore di 1, è chiaramente impossibile ricavare l'angolo[/b] e quindi il triangolo non è risolvibile.[br][br]Se otteniamo un valore accettabile per il seno dell'angolo abbiamo due casistiche:[br][list=1][*][b]se il lato opposto all'angolo incognito è maggiore dell'altro lato[/b], allora l'angolo incognito sarà maggiore di quello noto e quindi per lui [b]è accettabile anche il secondo risultato, quello ottuso[/b] [/*][*][b]se invece il lato opposto all'angolo incognito è minore dell'altro lato[/b], anche l'angolo incognito dovrà essere minore di quello noto e quindi [b]il risultato ottuso non è accettabile, dato che implicherebbe che l'altro angolo fosse ancora più ampio e questo non è compatibile con la somma interna degli angoli di un triangolo[/b].[/*][/list][br]Trovi qui sotto una scheda riassuntiva delle varie tecniche per risolvere un triangolo qualsiasi.