Consideriamo la base canonica di [math]\mathbb{R}^2[/math] composta dai vettori [i][math]e_1=\binom{1}{0}[/math][/i] ed [i][math]e_2=\binom{0}{1}[/math][/i] .[br]Ruotiamo i vettori utilizzando le equazioni trovate nella [url=https://www.geogebra.org/m/vgHzN573#material/NbdmMYJn]sezione precedente[/url] considerando il caso C coincidente con l'origine e otteniamo i seguenti trasformati:[br][br][center][i][math]{e_1}'=\binom{1\cdot cos(α)-0\cdot sin(α)}{1\cdot sin(α)+0\cdot cos(α)}=\binom{cos(α)}{sin(α)}[/math][/i][br][/center][center][i][math]{e_2}'=\binom{0\cdot cos(α)-1\cdot sin(α)}{0\cdot sin(α)+1\cdot cos(α)}=\binom{-sin(α)}{cos(α)}[/math][/i][br][/center]Da cui otteniamo la matrice che rappresenta la rotazione antioraria di angolo [i]α[/i]:[br][br][center][i][math]\left ([br]\begin{array}{cc}[br]cos(α) & -sin(α) \\[br]sin(α) & cos(α) \\[br]\end{array}[br]\right )[/math][/i][br][/center]Questa matrice è una [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_ortogonale]matrice ortogonale[/url] speciale di rango 2.[br]Quindi possiamo trovare il trasformato di un punto P tramite rotazione di angolo [i]α[/i] e centro l'origine utilizzando la seguente notazione matriciale:[br][br][i][center][math]\binom{x'}{y'}=\left ([br]\begin{array}{cc}[br]cos(α) & -sin(α) \\[br]sin(α) & cos(α) \\[br]\end{array}[br]\right )\binom{x}{y}[/math][/center][/i]Notiamo che [b]la rotazione di angolo [i]α[/i] è lineare se e solo se il centro coincide con l'origine[/b].[br][br]Se il centro C è spostato dall'origine la rotazione è una trasformazione lineare seguita da una traslazione:[br][br][i][center][math]\binom{x'}{y'}=\left ([br]\begin{array}{cc}[br]cos(α) & -sin(α) \\[br]sin(α) & cos(α) \\[br]\end{array}[br]\right )\binom{x-x_C}{y-y_C}+\binom{x_C}{y_C}[/math][/center][/i]