Gegeben ist ein Graph eines Zusammenhangs [color=#095EBC][b]f[/b][/color].[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (1)[/color][/b][br]Überlegt, wie man überprüfen kann, ob es sich beidem Graph von [color=#095EBC][b]f[/b][/color] um einen Funktionsgraph handelt.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (2)[/color][/b][br]Klickt im Applet „Umkehrfunktion?!“ auf das Auswahlfeld [color=#E31B4C]Funktionstest[/color]. Erkundet, wie ihr mit der erscheinenden Gerade überprüfen könnt, ob der Graph ein Funktionsgraph ist. Notiert euer Vorgehen und euer Ergebnis.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (3)[/color][/b][br]Durch die Erkenntnis aus [b][color=#095EBC]Aufgabe (2)[/color][/b] könnt ihr jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnen. Dies könnt ihr durch Anklicken des Auswahlfelds [color=#E31B4C]x-Wert[/color] und Ziehen am Punkt [color=#E31B4C][b]x[/b][/color] erkunden.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (4)[/color][/b][br]Kann man auch jedem y-Wert genau einen x-Wert zuordnen? Überlegt zunächst ohne das Applet zu nutzen![br]Durch Anklicken des Auswahlfelds [color=#26D07C]y-Wert[/color] und Ziehen am Punkt [color=#26D07C][b]y[/b][/color] könnt ihr das erkunden.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (5)[/color][/b][br]Überlegt, wie man bei einem Graph überprüfen kann, ob die umgekehrte Zuordnung y → x eindeutig ist und notiert eure Ideen.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (6)[/color][/b][br]Klickt auf das Auswahlfeld [color=#26D07C]Umkehrbarkeitstest[/color]. Erkundet wie ihr mit der erscheinenden Gerade überprüfen könnt, ob die umgekehrte Zuordnung eine Funktion ist. Notiert euer Vorgehen und euer Ergebnis.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (7)[/color][/b][br]Überlegt und notiert, wie man den Definitionsbereich der Quadratfunktion einschränken müsste, damit die umgekehrte Zuordnung eine Funktion wird.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (8)[/color][/b][br]Im Applet kann durch Klicken auf die Auswahlknöpfe [b][color=#095EBC]IR[sup]-[/sup][/color][/b], [b][color=#095EBC]IR[/color][/b] bzw. [b][color=#095EBC]IR[sup]+[/sup][/color][/b] die Definitionsmenge der Funktion [b][color=#095EBC]f[/color][/b] entsprechend gewählt werden. Für welche der so entstehenden Funktionen [b][color=#095EBC]f[/color][/b] ist auch die umgekehrte Zuordnung eine Funktion, die sogenannte [b][color=#095EBC]Umkehrfunktion f[sup]-1[/sup][/color][/b] von [b][color=#095EBC]f[/color][/b]? [br]Notiert und begründet eure Überlegungen.[br][br][b][color=#E31B4C]Bemerkungen[/color][/b][br][list][*]Ist eine Funktion [b][color=#095EBC]f[/color][/b] bzgl. einer Definitionsmenge umkehrbar ist, dann ist der Graph der Funktion zugleich auch der Graph der [b][color=#095EBC]Umkehrfunktion f[sup]-1[/sup][/color][/b] von [b][color=#095EBC]f[/color][/b]. [br]Man kann nämlich auch von einem beliebigen y-Wert parallel zur x-Achse zum Graphen laufen und anschließend senkrecht zur x-Achse und dort den zugeordneten x-Wert ablesen.[br][/*][*]Da man es aber gewohnt ist, dass das Argument (die unabhängige Variable) einer Funktion auf der x-Achse angetragen wird und der zugeordnete Funktionswert auf der y-Achse, spiegelt man den Graph der Funktion [b][color=#095EBC]f[/color][/b] an der [b]Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten des Koordinatensystems[/b] und erhält so den Graph der Umkehrfunktion [b][color=#095EBC]f[sup]-1[/sup][/color][/b].[/*][/list][br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (9)[/color][/b][br]Spiegelt den Graph der Funktion [b][color=#095EBC]f[/color][/b] und damit das ganze Koordinatensystem an der [b]Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten des Koordinatensystems[/b], indem ihr am [b][color=#095EBC]blauen Schieberegler -o----[/color][/b] zieht. Dabei wird die y-Achse auf die x-Achse abgebildet und umgekehrt.[br][br][b][color=#095EBC]Aufgabe (10)[/color][/b][br]Macht euch klar, dass der [color=#26D07C]Umkehrbarkeitstest[/color] für die Funktion [b][color=#095EBC]f[/color][/b] dem [color=#E31B4C]Funktionstest[/color] für die Umkehrfunktion [b][color=#095EBC]f[sup]-1[/sup][/color][/b] entspricht und umgekehrt. Aktiviert dazu beide Tests und stellt die Test-Geraden jeweils auf den gleichen Wert auf der x- bzw. y-Achse ein.