In den Differentialgleichungen aus 2.3 lassen sich die Variablen trennen und mithilfe der Umkehrfunktionen aus 2.1 Grundintegrale herleiten.[br][br]Beispielrechnung :[br][br]Für f(x)=sinhyp(x) gilt:       [math]y'=\sqrt{y^2+1}[/math][br][br]also: [math]\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+1}}=\int dx=x=arsinh\left(y\right)=ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)[/math][br][br]Äquivalenter Weg: Mit der Substitution x=sinhyp(u) lässt sich das Integral auch lösen:[br][br][math]dx=coshyp\left(u\right)du=\sqrt{1+sinhyp^2\left(u\right)}du=\sqrt{1+x^2}du[/math][br][math]\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}du=u=arsinh\left(x\right)=ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/math][br][br]Ebenso liefern:                           [br]f(x)=coshyp(x): [math]y'=\sqrt{y^2-1}[/math] [br]und damit [math]\int\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=arcosh\left(y\right)=ln\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)[/math][br]und[br]f(x)=tanhyp(x): y' = 1-y²[br][math]\int\frac{dy}{1-y^2}=artanh\left(y\right)=ln\left(\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}\right)[/math][br](wobei sich dieses Integral auch direkt durch Partialbruchzerlegung lösen lässt.)[br][br]Die mit den goniometrischen Funktionen zu substituierenden Integrale finden sich in[br]jeder Formelsammlung für Schüler:[br][math]\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=arcsin\left(y\right)[/math][br][br][math]\int\frac{-dy}{\sqrt{1-y^2}}=arccos\left(y\right)[/math][br][br][math]\int\frac{dy}{1+y^2}=arctan\left(y\right)[/math]