Libro 3
Bocetos que ayudan en forma dinámica.
Table of Contents
- Cap 1
- Cap 2
- Verificación de axiomas Vectores en R2 (evre)
- Suma-funciones
- Combinación lineal sencilla de dos vectores
- Suma y Escalamiento de Funciones (1)
- Cap 3
- Cap 4
- Espacio Generado por dos vectores
- Cap 5
- Ecuacion con Cambio de Base
- Ecuación de la recta con Base Girada
- Apéndices
- Geometría del producto de Complejos
- Raíz enésima de un complejo
- Serie de Fourier
Verificación de axiomas Vectores en R2 (evre)
Verificaremos cada axioma para para comprobar que el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano, con las operaciones estándares, tiene estructura de espacio vectorial real y estándar
Axioma 1: (La suma es cerrada) Para todo u,v de R2, el vector u+v también "vive" es un punto del plano cartesiano
La idea para demostrar que no se cumple:[br]arrastra u y v de tal manera que la suma s no sea un punto del plano[br][br]Que no lo veas a s en la pantalla, no significa que s no sea un punto del plano, probablemente solo sea cuestión de cambiar la escala.[br][br]Finalmente: ¿Qué es lo que caracteriza a cualquier punto como que pertenece ("vive" en el) al plano cartesiano R2?[br]simplemente que tenga dos componentes, y que cada componente sea real. [br][br]Por tanto estás listo para validar que el axioma 1 se cumple en este caso: mientras s tenga dos componentes y cada componente sea real, se cumplirá
Axioma 2 (la suma es asociativa): Para todo u,v,w de R2, el vector (u+v)+w=u+(v+w)
El deslizador elige mostrarte un cuenta o la otra.[br]Las sumas parciales [math]s_{\left\{uv\right\}}[/math] y [math]s_{\left\{vw\right\}}[/math] te sirven de guía.[br]Quizá la mejor forma de visualizar este axioma sea reemplazar los puntos por flechas y usar la analogía de la suma de vectores en forma funicular
Axioma 2 (la suma es asociativa): Analogía con flechas (1-2)
Mueve el deslizador y verás (suma por el método del paralelogramo) que se puede asociar tres vectores.[br]También puedes cambiar cada vector simplemente "estirando" la respectiva flecha, o en la ventana algebraica.[br][br][br][br][br][br]Otro método para visualizar el mismo axioma 2 (la suma poligonal) se ve abajo
Axiomas 3 y 4: existencia de neutro y opuesto
En este caso, usamos el mismo applet, porque es bastante intuitiva la idea del vector nulo para la operación de suma estándar
Axioma 5: Ley conmutativa
Esta ley se prueba visualmente solamente moviendo el deslizador y prestando atención
Axioma 6; Este axioma es similar al primero. Hay que escalar un vector del plano y verificar que el escalado es también vector del plano.[br][br]Axioma 7: Distributividad del escalamiento en la suma
Axioma 8: Distributividad de la suma en el escalamiento.
Axioma 10: Producto y escalamiento (Asociatividad mixta)
Espacio Generado por dos vectores
A= { (P1,P2,P3) , (Q1,Q2,Q3) } , calcula gen(A)
Los dos vectores P y Q del conjunto A, que yace en el espacio, [br]son [color=#1e84cc][b]los que[/b][b] puedes cambiar a voluntad en la ventana de arriba a la izquierda.[/b][/color][br][br]A es la matriz que carga con la información de los vectores, y en su tercera columna tiene el vector genérico del espacio.[br][br]E1 y E2 son matrices auxiliares. (están como objetos auxiliares en la ventana algebraica.[br]No los toques a menos que sepas lo que haces.[br][br]Pregunta: Cómo se vería el plano si A={ (1,2,0) , (2,4,0) }?[br](Ya ves que te toca analizar la matriz B para contestar con seguridad cuál es el espacio generado por el conjunto de vectores A). El boceto no siempre calculará el espacio generado: toma pivotes en (1,1) y luego en (2,2)... de modo que si se hace un cero, el plano genA se reportará como inexistente
Ecuacion con Cambio de Base
Aquí ves cómo la ecuación cuadrática en coordenadas (base) canónica es cuadrática,[br]mientras que respecto del sistema girado es una ecuación rectangular [math]x^1y^1=1[/math][br][br]Tienes que verlo como si fuera que el par de ejes azul (canónica) gira 45 grados a favor del reloj, para quedar en la posición de la base X1Y1 rosado (o lila claro, del color que aprecies).[br]En ese momento vale la ecuación rectangular. En otras palabras: he girado 45 grados la ecuación cuadrática en el sentido contrario para que aprecies la posición relativa.[br][br]Hay que tener muy en cuenta que no hay giro alguno de la ecuación. Simplemente la he girado para que veas el paisaje visual pertinente. En otras palabras: es visual y relativamente lo mismo girar la ecuación en el sentido contrario al giro de la base.[br]
Geometría del producto de Complejos
Puedes mover libremente los complejos [math]z_1[/math]y [math]z_2[/math][br]La idea es visualizar que al escalar un complejo por otro (distintos de z=1+0 i), la dirección del escalado no es del segundo como cuando se escala un vector por un real, sino que se compone de una parte de escalamiento real, mas otra parte de escalamiento "imaginario" que es un escalamiento a 90 grados antihorario.[br][br]La propiedad conmutativa se puede apreciar cambiando el deslizador