Egyenletek ekvivalens átalakítása

Geomatech, Aug 12, 2015

Egyenletek mindkét oldalával végrehajtott műveletek hatását vizsgáljuk az egyenlet megoldáshalmazára

Table of Contents

  1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 1.
    1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 1.
  2. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 2.
    1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 2.
  3. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.
    1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.
  4. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai
    1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai

1.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 1.

Egy megadott egyszerű egyenletből kiindulva az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt az átalakítást végezzük: mindkét oldalhoz hozzáadjuk ugyanazt a számot vagy ugyanazt a kifejezést, mindkét oldalt megszorozzuk ugyanazzal a számmal vagy ugyanazzal a kifejezéssel. Mindkét oldalon négyzetre emelünk, vagy mindkét oldalnak a reciprokát vesszük. Megvizsgáljuk, hogy az ezekkel a változtatásokkal kapott újabb egyenletek megoldáshalmaza milyen kapcsolatban van az eredeti egyenlet megoldáshalmazával. Az említetteken kívül még több lehetőséget is bemutat ez a tananyag.

  • 1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 1.

1.1.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 1.

A cél
[justify]Figyeld meg, mi történik az [math]\frac{1}{2}x-1=-x+\frac{1}{2}[/math] egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre az oldalain! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest?[br]A gyököket a valós számok halmazában keressük.[/justify]
Útmutatás
[justify]Az eredeti [math]\frac{1}{2}x-1=-x+\frac{1}{2}[/math] egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az [math]y=\frac{1}{2}x-1[/math]egyenletű egyenes és az [math]y=-x+\frac{1}{2}[/math] egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. [br]Szintén látható, hogy az egyenlet (egyetlen) gyöke: [math]x[/math] = 1. [br]Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.[/justify]
1. feladat
[justify]Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! [br]A „Hozzáad”-ot kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e[br]a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
2. feladat
[justify]Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! [br]A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?[/justify]
3. feladat
[justify]Emeld négyzetre mindkét oldalt! [br]A „Négyzetre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
4. feladat
[justify]Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok”[br]lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a[br]megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
5. feladat
[justify]Emeld köbre az egyenlet mindkét oldalát! [br]A „Köbre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
6. feladat
Vedd az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét! [br]A „Gyököt von”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
7. feladat
[justify]Szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát [i]x[/i]-szel![br]A „Szoroz [i]x[/i]-szel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
8. feladat
Szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát ([i]x [/i]– 1)-gyel![br]Az „([i]x[/i] – 1)-gyel szoroz”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
9. feladat
[justify]Oszd el mindkét oldalt [i]x[/i]-szel![br]A „[i]x[/i]-szel oszt”-ot kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
– Pogány Éva, Nagy Mihály, Geomatech

2.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 2.

Egy megadott egyszerű egyenletből kiindulva az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt az átalakítást végezzük: mindkét oldalhoz hozzáadjuk ugyanazt a számot vagy ugyanazt a kifejezést, mindkét oldalt megszorozzuk ugyanazzal a számmal vagy ugyanazzal a kifejezéssel. Mindkét oldalon négyzetre emelünk, vagy mindkét oldalnak a reciprokát vesszük. Megvizsgáljuk, hogy ezekkel a változtatásokkal kapott újabb egyenletek megoldáshalmaza milyen kapcsolatban van az eredeti egyenlet megoldáshalmazával. Az említetteken kívül még több lehetőséget is bemutat ez a tananyag.

  • 1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 2.

2.1.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 2.

A cél
[justify]Figyeld meg, mi történik az [math]x+1=-\frac{1}{2}x+4[/math] egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre rajta! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest?[br]A gyököket a valós számok halmazában keressük.[/justify]
Útmutatás
[justify]Az eredeti [math]x+1=-\frac{1}{2}x+4[/math] egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az [math]y=x+1[/math] egyenletű egyenes és az [math]y=-\frac{1}{2}x+4[/math]  egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható, hogy az egyenlet (egyetlen) gyöke: [math]x=2[/math].[br] Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi mi[br]mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.[/justify]
1. feladat
[justify]Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! [br]Válaszd ki a „Hozzáad” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
2. feladat
[justify]Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! [br]Válaszd ki a „Szoroz” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?[/justify]
3. feladat
[justify]Emeld négyzetre mindkét oldalt! [br]Válaszd ki a „Négyzetre emel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
4. feladat
[justify]Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? [br]Válaszd ki a „Reciprok” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
5. feladat
[justify]Emeld köbre mindkét oldalt! [br]Válaszd ki a „Köbre emel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
6. feladat
[justify]Végezz négyzetgyökvonást mindkét oldalon![br]Válaszd ki a „Gyököt von” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
7. feladat
[justify]Szorozd meg mindkét oldalt [math]x[/math]-szel! [br]Válaszd ki a „Szoroz [math]x[/math]-szel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
8. feladat
[justify]Szorozd meg mindkét oldalt [math](x-2)[/math]-vel! [br]Válaszd ki „[math](x-2)[/math]-vel szoroz” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
9. feladat
Oszd el mindkét oldalt [math]x[/math]-szel![br]Válaszd ki a  „[math]x[/math]-szel oszt” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
– Pogány Éva, Nagy Mihály, Geomatech

3.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.

Egy megadott egyszerű egyenletből kiindulva az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt az átalakítást végezzük: mindkét oldalhoz hozzáadjuk ugyanazt a számot vagy ugyanazt a kifejezést, mindkét oldalt megszorozzuk ugyanazzal a számmal vagy ugyanazzal a kifejezéssel. Mindkét oldalon négyzetre emelünk, vagy mindkét oldalnak a reciprokát vesszük. Megvizsgáljuk, hogy ezekkel a változtatásokkal kapott újabb egyenletek megoldáshalmaza milyen kapcsolatban van az eredeti egyenlet megoldáshalmazával. Az említetteken kívül még több lehetőséget is bemutat ez a tananyag.

  • 1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.

3.1.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.

Bevezető feladat
[justify]Figyeld meg, mi történik az [math]x^2=2x[/math] egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre rajta! [br]Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest? A gyököket a valós számok halmazában keressük.[/justify]
Útmutatás
[justify]Az eredeti [math]x^2=2x[/math] egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az [math]y=x^2[/math] egyenletű parabola és az [math]y=2x[/math] egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. [br]Szintén látható, hogy az egyenlet két gyöke: [math]x_1=2[/math] és [math]x_2=0[/math]. [br]Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.[/justify]
1. feladat
[justify]Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! [br]Válaszd ki a „Hozzáad” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e[br]a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
2. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! [br]Válaszd ki a „Szoroz” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? [br]Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
3. feladat
[justify]Emeld négyzetre mindkét oldalt! [br]Válaszd ki a „Négyzetre emel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
4. feladat
[justify]Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? Válaszd ki a „Reciprok” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
5. feladat
[justify]Emeld köbre mindkét oldalt! [br]Válaszd ki a „Köbre emel” funkciót! Vajona kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
6. feladat
[justify]Végezz négyzetgyökvonást mindkét oldalon![br]Válaszd ki a „Gyököt von” lehetőséget! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
7. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math]x[/math]-szel! [br]Válaszd ki a „Szoroz [math]x[/math]-szel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
8. feladat
[justify]Szorozd meg mindkét oldalt [math](x+2)[/math]-vel! [br]Válaszd ki az „[math](x+2)[/math]-vel szoroz” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
9. feladat
[justify]Oszd el mindkét oldalt [math]x[/math]-szel![br]Válaszd ki az „[math]x[/math]-szel oszt” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?[/justify]
– Pogány Éva, Nagy Mihály, Geomatech

4.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai

Egy megadott egyszerű egyenletből kiindulva az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt az átalakítást végezzük: mindkét oldalhoz hozzáadjuk ugyanazt a számot vagy ugyanazt a kifejezést, mindkét oldalt megszorozzuk ugyanazzal a számmal vagy ugyanazzal a kifejezéssel. Mindkét oldalon négyzetre emelünk, vagy mindkét oldalnak a reciprokát vesszük. Megvizsgáljuk, hogy ezekkel a változtatásokkal kapott újabb egyenletek megoldáshalmaza milyen kapcsolatban van az eredeti egyenlet megoldáshalmazával. Az említetteken kívül még több lehetőséget is bemutat ez a tananyag.

  • 1. Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai

4.1.

Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai

Bevezető feladat
Figyeld meg, mi történik az [math]x+2=-\frac{1}{2}x-1[/math] egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest?[br]A megoldáshalmazt a valós számok halmazában keressük.
Útmutatás
Az eredeti [math]x+2=-\frac{1}{2}+-1[/math] egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az [math]y=x+2[/math]  egyenletű egyenes és az [math]y=-\frac{1}{2}x-1[/math]  egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható a gyöke: [math]x=-2[/math].[br]Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, hogy mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.
1. feladat
Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! [br]A „Hozzáad” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
2. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! [br]A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
3. feladat
Emeld négyzetre mindkét oldalt! [br]A „Négyzetre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
4. feladat
Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok”[br]lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a[br]megoldáshalmaza, mint az eredetié?
5. feladat
Emeld köbre mindkét oldalt! [br]A „Köbre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
6. feladat
Végezz gyökvonást mindkét oldalon![br]A „Gyököt von” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
7. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math]x[/math]-szel! [br]A „Szoroz [math]x[/math]-szel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
8. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math](x+2)[/math]-vel! [br]Az „[math](x+2)[/math]-vel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új[br]egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
9. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math](x+4)[/math]-gyel! [br]Az „[math](x+4)[/math]-gyel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új[br]egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
10. feladat
Oszd el mindkét oldalt [math]x[/math]-szel![br]A „[math]x[/math]-szel oszt” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
– Pogány Éva, Nagyné Szokol Ágnes, Nagy Mihály, Geomatech

Information