[color=#ff7700][i][b]Wo liegen in der hyperbolischen Ebene die Punkte, für welche die Summe der Abstände von zwei vorgegebenen Punkten konstant ist?[/b][/i][/color][br][br]In der euklidischen Ebene liegen diese Punkte auf einer Ellipse mit den vorgegebenen Punkten als Brennpunkten: diese Charakterisierung erlaubt die [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse]Gärtner-Konstruktion für Ellipsen[/url] ([size=85]Wikipedia[/size]).[br][br]In der [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie]hyperbolischen Ebene[/url] ([size=85]Wikipedia[/size]) hängt die Antwort von der Wahl des Modells ab:[br]Dem Applet oben liegt das [i][b]POINCARÉ[/b][b]sche Kreisscheibenmodell[/b][/i] zugrunde:[br]"GERADEN" sind die im Inneren verlaufenden Kreis-Abschnitte von zum Einheitskreis orthogonalen Kreisen. Der hyperbolische "ABSTAND" [math]\left|\mathbf{p}\,,\,\mathbf{q}\right|_h[/math] zweier Punkte [b]p[/b], [b]q[/b] im Inneren wird wie folgt berechnet: [br]Durch die beiden Punkte geht genau eine GERADE, also ein zu [b]E[/b] orhogonaler Kreis. Dieser Kreis schneidet den Einheitskreis [b]E[/b] in zwei Punkten [b]r[/b] und [b]s[/b]. Damit wird der hyperbolische Abstand definiert: [br][list][*][math]\left|\mathbf{p}\,,\,\mathbf{q}\right|_h := \mathbf{ln}\left(\left|\mathbf{Dv}\left(\mathbf{p}\,,\mathbf{q}\,,\mathbf{r}\,,\mathbf{s}\right)\right|\right)=\mathbf{ln}\left(\left|\frac{\mathbf{p}-\mathbf{r}}{\mathbf{q}-\mathbf{r}}\cdot\frac{\mathbf{q}-\mathbf{s}}{\mathbf{p}-\mathbf{s}}\right|\right)[/math][br][/*][/list]Im Inneren des Einheitskreises [b]E[/b] sind zwei Brennpunkte [math]f[/math] und [math]-f[/math] auf der [math]x[/math]-Achse, symmetrisch zur [math]y[/math]-Achse vorgegeben. Zwei weitere Brennpunkte liegen spiegelbildlich zu [b]E[/b] außerhalb des Einheitskreises.[br]Durch den Punkt [math]z_0[/math] geht eine bizirkulare Quartik mit den vorgegebenen Brennpunkten, deren einer Teil ganz im Inneren von [b]E[/b] verläuf; der 2.te Teil liegt spiegelbildlich zu [b]E[/b] im Äußeren. TANGENTEN sind die doppelt-berührenden Kreise. Die Spiegelbilder von [math]f[/math] bezüglich der doppelt-berührenden Kreise liegen auf dem [i][b][color=#0000ff]Leitkreis [/color][/b][/i][b][color=#0000ff]L[/color][/b][color=#0000ff][color=#000000], der hyperbolische [/color][/color]MITTELPUNKT des Leitkreises ist der Brennpunkt [math]f'=-f[/math]. [b]E[/b] und [b][color=#0000ff]L[/color][/b] gehören zu dem Kreis-Büschel mit [math]-f[/math] und [math]-1/f[/math] als Grundpunkten.[br]Mit [math]z_0[/math] kann die Quartik und der zugehörige Leitkreis geändert werden. [br]Der Quartik-Punkt [math]z_q[/math] kann durch den zugehörigen Punkt auf dem Leitkreis [b][color=#0000ff]L[/color][/b] längs der Quartik bewegt werden. Die hyperbolischen ABSTÄNDE werden mit der oben angegebenen Vorschrift und den angezeigten Punkten in komplexen Koordinaten berechnet.[br][br]Das Applet unten zeigt die hyperbolische Ebene als Kreisscheibenmodell von [i][b]BELTRAMI [/b][/i]und [i][b]KLEIN[/b][/i].[br]GERADEN sind die im Inneren des Einheitkreises [b]E[/b] verlaufenden Sehnen. Die GERADE durch zwei Punkte [b]p[/b] und [b]q[/b] hat zwei Randpunkte [b]a[/b],[b]b[/b]. Der hyperbolische ABSTAND kann wie oben mit dem Doppelverhältnis [math]\mathbf{Dv}\left(\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{a},\mathbf{b}\right)[/math] und dem natürlichen Logarithmus [math]\mathbf{ln}[/math] berechnet werden.[br]Das Bild unten entsteht aus dem POINCARÉschen Kreismodell durch Projektion der Möbiusquadrik auf die Ebene des Einheitskreises vom Pol derselben aus.[br][br]Der Ort der Punkte, für welche die Summe der hyperbolischen ABSTÄNDE zu zwei Brennpunkten konstant ist, erweist sich nun als eine Ellipse: nutzt man die Symmetrien an der [math]x[/math]- und an der [math]y[/math]-Achse, so erhält man zu einem Punkt [math]z_0[/math] leicht weitere 3 spiegelbildliche Punkte der Kurve. Eine TANGENTE konstruiert man als Winkelhalbierende der BRENNSTRAHLEN; wobei der Einheitskreis als absolute Quadrik und die hierdurch definierten Pol - Polaren Beziehung zugrunde liegen. Durch 4 Punkte und eine Tangente ist ein Kegelschnitt eindeutig festgelegt. Hierzu kann man das Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebrabook [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url] vergleichen.[br]Der Punkt [math]z_q[/math] bewegt sich auf dem Kegelschnitt. Die Summe der hyperbolischen ABSTÄNDE von den Brennpunkten stimmt überein mit den Radius des [color=#0000ff][i][b]LEITKREISES[/b][/i][/color]. Dieser ist hier ebenfalls eine Ellipse und wird etwas aufwendig als Ort der Spiegelbilder des Brennpunkts [math]f[/math] an den Kegelschnitt-TANGENTEN konstruiert. Auch hierzu sind [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url] nützlich.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][br]