Dieses Applet hilft euch, den Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung besser zu verstehen. (Buch bsv12, S. 15f) Zu zeigen ist, dass die Ableitung der Integralfunktion (mit beliebiger Untergrenze [math]a[/math]) von einer stetigen Funktion [math]f[/math] gleich dieser Funktion [math]f[/math] ist, d.h. dass gilt: [math]I_a'(x)=f(x)[/math]. Wir betrachten hier eine beliebige, aber feste Stelle [math]x_0[/math]. Nach Definition der Ableitung ist [math]I_a'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{I_a(x_0+h)-I_a(x_0)}{h}[/math]. Der Zähler dieses Bruchs ist aber nichts anderes als das bestimmte Integral [math]\int_{x_0}^{x_0+h}{f(t)dt}[/math]. Dieses schachteln wir durch die beiden Rechtecksflächen ein. Wir sehen: [math]h \cdot f(x_m) \le I_a(x_0+h)-I_a(x_0) \le h \cdot f(x_M)[/math]. Wir dividieren durch [math]h[/math] und erhalten [math]f(x_m) \le \frac{I_a(x_0+h)-I_a(x_0)}{h} \le f(x_M)[/math]. Schiebe nun am Schieberegler h und lasse h langsam gegen 0 gehen. Beobachte, wie sich die Flächenwerte verändern. Für [math]h \to 0[/math] folgt [math]f(x_0) \le I_a'(x_0) \le f(x_0)[/math], also [math] I_a'(x_0) = f(x_0)[/math].