Četiri karakteristične točke trokuta

Aleksandra Brmbota, Feb 20, 2018

[b]Ishodi:[/b] [list] [*]definira i konstruira (u bilježnici i pomoću GGB): - simetralu dužine - simetralu kuta - visinu - težišnicu - srednjicu trokuta [*]definira i konstruira (u bilježnici i pomoću GGB) karakteristične točke trokuta: - središte trokutu opisane kružnice - središte trokutu upisane kružnice - težište - ortocentar [*]uočava svojstva težišta [*]uočava svojstva srednjice [*]analizira položaj karakterističnih točaka ovisno o vrsti trokuta [*]povezuje neke točke trokuta u Eulerov pravac [/list] [b]Četiri karakteristične točke trokuta su:[/b] [list] [*][color=#555]središte trokutu opisane kružnice [*]središte trokutu upisane kružnice [*]težište [*]ortocentar [/list][/color]

Table of Contents

  1. Središte trokutu opisane kružnice
    1. Simetrala dužine i poučak o simetrali dužine
    2. Konstrukcija
    3. Kružnica opisana trokutu
  2. Središte trokutu upisane kružnice
    1. Simetrala kuta i poučak o simetrali kuta
    2. Konstrukcija
    3. Kružnica upisana trokutu
    4. Geometrijski dokaz formule P=rs
  3. Težište
    1. Težišnica
    2. Težište trokuta
  4. Ortocentar
    1. Visina trokuta
    2. Ortocentar trokuta
    3. Heronova formula
  5. Svojstvo srednjice
    1. Srednjica trokuta
    2. Svojstvo srednjice
  6. Eulerov pravac
    1. Poveži karakteristične točke trokuta
    2. Eulerov pravac i četiri točke trokuta
  7. Ponovimo
    1. Ponovimo osnovne pojmove

1.

Središte trokutu opisane kružnice

  • 1. Simetrala dužine i poučak o simetrali dužine
  • 2. Konstrukcija
  • 3. Kružnica opisana trokutu

1.1.

Simetrala dužine i poučak o simetrali dužine

Definicija simetrale dužine
Poučak o simetrali dužine i obrat poučka
Istražite!
Mijenjajte veličinu dužine određene točkama A i B tako da pomičete krajnje točke. [br]Pomičite i točku M na simetrali dužine. Što primjećujete? [br]Vrijedi li uvijek poučak o simetrali dužine (i obrat)?[br]Zaključite, kojim poučkom o sukladnosti trokuta možemo dokazati [i]Poučak o simetrali dužine[/i] i obrat poučka.
– Aleksandra Brmbota

1.2.

–

1.3.

–

2.

Središte trokutu upisane kružnice

  • 1. Simetrala kuta i poučak o simetrali kuta
  • 2. Konstrukcija
  • 3. Kružnica upisana trokutu
  • 4. Geometrijski dokaz formule P=rs

2.1.

Simetrala kuta i poučak o simetrali kuta

Uočite!
Pomičući točke A, B i C, mijenjajte veličinu kuta određenog vrhom V i točkama A i B.[br]U kojoj su vezi pravac [math]s_{\alpha}[/math] i kut AVB?[br]Pravac [math]s_{\alpha}[/math] nazivamo [b]simetrala kuta[/b]. Definirajte simetralu kuta.
Istražite!
U kojem položaju se nalazi proizvoljna točka na simetrali kuta u odnosu na krakove kuta?[br]Iskažite poučak o simetrali kuta (o udaljenosti točke simetrale od krakova kuta). [br]Pokušajte samostalno iskazati obrat poučka.
Dokažite!
Pomičite točke C i V. Što primjećujete? Što se mijenja, a što ostaje isto?[br]Pokušajte dokazati poučke uz pomoć poučaka o sukladnosti trokuta.[br]Vrijedi li uvijek poučak o simetrali kuta (i obrat) ili postoje specijalni slučajevi kada on ne vrijedi?
– Aleksandra Brmbota

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Težište

  • 1. Težišnica
  • 2. Težište trokuta

3.1.

Težišnica

– Aleksandra Brmbota

3.2.

–

4.

Ortocentar

  • 1. Visina trokuta
  • 2. Ortocentar trokuta
  • 3. Heronova formula

4.1.

Visina trokuta

Visina trokuta
[b]Visina trokuta[/b] je dužina određena vrhom trokuta i točkom ([b]nožište visine[/b]) u kojoj okomica iz tog vrha siječe pravac na kojem leži nasuprotna stranica.
– Aleksandra Brmbota

4.2.

–

4.3.

–

5.

Svojstvo srednjice

  • 1. Srednjica trokuta
  • 2. Svojstvo srednjice

5.1.

Srednjica trokuta

– Aleksandra Brmbota

5.2.

–

6.

Eulerov pravac

  • 1. Poveži karakteristične točke trokuta
  • 2. Eulerov pravac i četiri točke trokuta

6.1.

Poveži karakteristične točke trokuta

ZADATAK
Nacrtaj trokut te mu konstruiraj sve četiri karakteristične točke. [br]Nacrtaj Eulerov pravac. Koje točke leže na Eulerovom pravcu? Istraži za koje trokute su sve četiri točke na Eulerovom pravcu i u kojem slučaju se podudaraju.
Za koje trokute sve četiri karakteristične točke leže na istom pravcu?
Kada se sve četiri karakteristične točke trokuta podudaraju?
Ako je ortocentar izvan trokuta, tada je i središte opisane kružnice izvan trokuta.
Ako je ortocentar u vrhu pravog kuta pravokutnog trokuta, gdje se nalazi središte opisane kružnice?
Polumjer upisane kružnice je manji od polumjera opisane kružnice.
Srednjica trokuta leži na simetrali stranice.
– Aleksandra Brmbota

6.2.

–

7.

Ponovimo

  • 1. Ponovimo osnovne pojmove

7.1.

Ponovimo osnovne pojmove

1. zadatak
Dva su trokuta sukladna ako i samo ako imaju sukladna/e (moguće više odgovora)
2. zadatak
[b]Teorem o sukladnosti SSK[/b] glasi: Trokuti su sukladni ako su im sukladne/i odgovarajuće
3. zadatak
[b]Teorem o sukladnosti SKS[/b] glasi: Trokuti su sukladni ako su im sukladne/i odgovarajuće
4. zadatak
[b]Teorem o sukladnosti KSK[/b] glasi: Trokuti su sukladni ako su im sukladne/i odgovarajuće
5. zadatak
Koje točke trokuta mogu ležati i izvan trokuta?
6. zadatak
Kako se naziva dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice?
7. zadatak
Kako zovemo točku u kojoj se sijeku pravci koji sadrže visine trokuta?
8. zadatak
Što je [b]srednjica [/b]trokuta?
U sljedećim zadatcima utvrdite je li tvrdnja istinita uvijek, ponekad ili nikada.
9. zadatak
Težište dijeli težišnicu trokuta u omjeru 1 : 2, računajući od vrha trokuta.
10. zadatak
[b]Simetrala stranice [/b]je pravac koji raspolavlja dužinu i okomit je na nju.
11. zadatak
[b]Heronovom formulom[/b] računamo razliku poluopsega, [i]s[/i] i stranica trokuta.
12. zadatak
[b]Središte trokutu opisane kružnice[/b] nalazi se na jednoj stranici trokuta.
– Aleksandra Brmbota

Information