[size=85]Das quadratische Vektorfeld besitze [i][b]eine dreifache[/b][/i] und [i][b]eine einfache[/b][/i] Nullstelle. [br][br]Allgemein ist also die elliptische Differentialgleichung [math]f'\,^2=\left(f-z_1\right)^3\cdot\left(f-z_2\right)[/math] zu lösen.[br]Wählt man das euklidische KOS so, dass die dreifache Nullstelle in [math]\infty[/math] und die einfache Nullstelle [math]0[/math] ist, [br]so kann das quadratische Vektorfeld durch [math] \mathbf\vec{p}_\infty\vee\mathbf\vec{g}_0\left(\mathbf\vec{p}\left(z\right)\,,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\right)=z'^2[/math] beschrieben werden.[br]Eine Lösung ist [math]f\left(z\right):=\frac{1}{4}\cdot z^2[/math], denn es ist [math]f'^2=f[/math].[br]Die Kurven [math]x\mapsto f\left(x+i\cdot y\right)[/math] und [math]y\mapsto f\left(x+i\cdot y\right)[/math] sind die [color=#0000ff][i][b]konfokalen Parabeln[/b][/i][/color] mit [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] 0 und der [br][math]x[/math]-Achse als [color=#f1c232][i][b]Symmetrieachse[/b][/i][/color].[br]Zum gedrehten Vektorfeld gehören die um den Ursprung gedrehten [color=#0000ff][i][b]Parabeln[/b][/i][/color].[br][br]Würde man [math]\infty[/math] als die einfache und 0 als die dreifache Nullstelle wählen, so ergäbe sich [br]die Differential-Gleichung [math]f'\,^2=f^3[/math] mit der Lösung [math]h\left(z\right)=\frac{1}{z^2}[/math]. [br]Die erzeugenden Kreisbüschel sind die Geraden durch den Ursprung einerseits und das parabolische Kreisbüschel der [br]Kreise, welche die [math]x[/math]-Achse im Ursprung berühren. [br]Die Lösungskurven (invertierte Parabeln) sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser Kreise.[br][/size][br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size]