Um das Folgende verstehen zu können, müssen Sie wissen (und am besten auch verstanden haben), was die Ableitung eigentlich bedeutet.[br][br][size=150][b]Merke:[/b][b] [color=#ff0000]Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente des Graphen an der Stelle x an.[/color][/b][b][br][/b][/size]

Die Steigung der Tangente an der Stelle x ist aber dieselbe wie die Steigung der Funktion f an dieser Stelle. Klicken Sie,um das zu sehen, im folgenden Applet den Punkt [color=#0000ff]A[/color] an. Zoomen Sie nun diesen Bereich heran, indem Sie das Mausrad betätigen bzw. mit beiden Fingern über das Touch-Pad nach oben oder unten streichen.

Wir sehen also: An der Stelle x haben der Funktionsgraph und die Tangente dieselbe Steigung. Damit gibt die Ableitung nicht nur die Steigung der Tangente, sondern auch die Steigung des Graphen an der Stelle x an.[br][br][size=150][b]Merke: [color=#ff0000]Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung des Graphen an der Stelle x an.[/color][/b][/size]

Ziehen Sie mit der Maus im folgenden Applet den Punkt A den Graphen einer Funktion f entlang. Beobachten Sie dabei die Werte der Tangentensteigung m[sub]t[/sub], d.h. der Ableitung f'(x).[br]Es gibt drei Stellen x, an denen die Steigung der Tangente m[sub]t[/sub] null ist. Finden Sie diese.

Als Ergebnis halten wir folgende Zusammenhänge fest:[br][br][list][*]In Bereichen, in denen [color=#ff0000]f'(x) < 0 (negativ)[/color] ist, da ist f streng monoton [color=#ff0000]fallend[/color].[/*][*]In Bereichen, in denen[color=#ff0000] f'(x) > 0 (positiv)[/color] ist, da ist f streng monoton[color=#ff0000] steigend[/color].[/*][*]Hat f an der Stelle x[sub]H[/sub] einen [color=#ff0000]Hochpunkt[/color], so ist dort die Tangente waagerecht, d.h. [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]H[/sub]) = 0[/color]. Außerdem [color=#ff0000]wechselt das Vorzeichen[/color] von m[sub]t[/sub], d.h. von f'(x) beim Übergang von links von x[sub]H[/sub] nach rechts [color=#ff0000]von + nach -[/color].[/*][*]Hat f an der Stelle x[sub]T[/sub] einen [color=#ff0000]Tiefpunkt[/color], so ist dort die Tangente waagerecht, d.h. [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]T[/sub]) = 0[/color]. Außerdem [color=#ff0000]wechselt das Vorzeichen[/color] von m[sub]t[/sub], d.h. von f'(x) beim Übergang von links von x[sub]T[/sub] nach rechts von [color=#ff0000]- nach +[/color].[/*][*]Ein [color=#ff0000]Terassenpunkt[/color] liegt vor, wenn gilt: m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]TP[/sub]) = 0, und f'(x) hat rechts und links von x[sub]TP[/sub] dasselbe Vorzeichen, [color=#ff0000]wechselt[/color] also [color=#ff0000]das Vorzeichen nicht[/color].[/*][/list][br]Machen Sie sich dies anhand des obigen Applets noch einmal klar.