Powierzchnie i krzywe w przestrzeni
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Joanna Rzepecka, Elżbieta Kotlicka-Dwurznik Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Współrzędne punktu
- Układ kartezjański
- Układ sferyczny
- Układ cylindryczny
- 2. Powierzchnie drugiego stopnia
- Postać ogólna (1)
- Postać ogólna (2)
- Elipsoidy >>
- Sfera
- Paraboloidy >>
- Paraboloida obrotowa
- Paraboloida eliptyczna
- Paraboloida hiperboliczna
- Hiperboloidy >>
- Hiperboloida jednopowłokowa
- Hiperboloidy i stożek asymptotyczny
- Skanowanie powierzchni
- Powierzchnie stożkowe >>
- Stożek obrotowy
- Stożek eliptyczny
- Krzywe stożkowe
- Powierzchnie walcowe >>
- Walec eliptyczny
- Walec paraboliczny
- (*) Jak powstają powierzchnie walcowe i stożkowe?
- Powierzchnie stopnia drugiego - szkicowanie
- 3. Inne powierzchnie
- Torus
- Butelka Kleina
- Wstęga Mobiusa
- Muszla
- Helikoida
- Powierzchnia Diniego
- Katenoida
- 4. Krzywe w przestrzeni
- Krzywa Vivianiego
- Helisa kołowa
- Węzły
- 5. Powierzchnie obrotowe
- Powierzchnia obrotowa
- Powierzchnie obrotowe - zadania
- 6. Bryły ograniczone powierzchniami
- Dwa walce kołowe
- Dwa walce i dwie płaszczyzny
Układ kartezjański
[color=#980000]Kartezjański układ współrzędnych prostokątnych[/color] określimy następująco: [br]Przez dowolny punkt [math]O[/math] przestrzeni prowadzimy trzy proste wzajemnie do siebie prostopadłe zwane osiami współrzędnych: [math]Ox[/math], [math]Oy[/math] i [math]Oz[/math]. Współrzędnymi punktu [math]A[/math] są miary rzutów wektora [math]\overrightarrow{OA}[/math] na poszczególne osie układu. Znaki współrzędnych zależą od tego, czy wektory [math]\overrightarrow{OA_x},\;\overrightarrow{OA_y},\;\overrightarrow{OA_z}[/math] mają zwroty zgodne z osiami współrzędnych czy przeciwne. Punkt [math]O[/math] nazywamy początkiem układu współrzędnych. Płaszczyzny: [math]x=0[/math], [math]y=0[/math], [math]z=0[/math] dzielą układ na oktanty (ósemki) przestrzeni. Współrzędne punktu [math]A=(a_x,a_y,a_z)[/math] nazywamy odpowiednio: odciętą, rzędną, kotą.[br]Jeśli pominiemy warunek prostopadłości prostych, to tak utworzony układ nazywamy [color=#980000]układem współrzędnych ukośnokątnych[/color].
Ćwiczenie 1.
Poruszając punktem [math]A[/math], ustaw jego współrzędne: [math]\left(-1,2,3\right)[/math].
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon] Aby ustawić współrzędne wybranego punktu należy najechać na niego kursorem i wybrać jedną z dwóch możliwości jego przemieszczania:[br][list][*]pionowo (po prostej równoległej do osi [math]Oz[/math])[/*][*]poziomo (w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny [math]Oxy[/math])[/*][/list]Oczywiście współrzędne punktu można też modyfikować w Widoku Algebry.
Uwaga.
Wyróżniamy dwa rodzaje kartezjańskich układów współrzędnych prostokątnych: [color=#980000]prawoskrętny[/color] i [color=#980000]lewoskrętny[/color]. [br]W GeoGebrze standardowo otrzymujemy wykresy w układzie prawoskrętnym. Aby uzyskać układ lewoskrętny trzeba zmienić etykiety osi oraz nazwy współrzędnych.
Układ prawoskrętny
Układ lewoskrętny
Ćwiczenie 2.
Przesuń punkt [math]P[/math], tak by znalazł się w pierwszym oktancie układu [math]Oxyz[/math] (tzn. by jego wszystkie współrzędne były dodatnie).
Postać ogólna (1)
[color=#980000][b][br]Powierzchnią drugiego stopnia[/b][/color] lub [color=#980000][b]kwadryką [/b][/color]nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których współrzędne [math](x,y,z)[/math] spełniają równanie [center][math] (1)[/math] [math]\displaystyle a_{11} \,x^2+a_{22}\, y^2+a_{33} \,z^2 +2a_{12} \,x\, y+2a_{13} \,x\, z+2a_{23} \,y\, z+2a_{14}\, x+2a_{24}\, y+2a_{34}\, z+a_{44}=0[/math],[/center]gdzie [math]a_{11}, \,a_{22},\,a_{33}, \,a_{12}, \,a_{13}, \,a_{23},\,a_{14},\, a_{24},\,a_{34},\,a_{44}\in\mathbb{R}\[/math] oraz przynajmniej jeden ze współczynników [math]a_{11}, \,a_{22},\,a_{33}, \,a_{12}, \,a_{13}, \,a_{23} \[/math] jest różny od zera. [br][br]W zależności od współczynników [math]a_{ij}[/math], [math]i,j\in\left\{1,2,3,4\right\}[/math] równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego opisuje: [br][list][*][b]elipsoidę[/b], [b]hiperboloidę[/b] (jednopowłokową lub dwupowłokową), [b]powierzchnię stożkową[/b], [b]powierzchnię walcową[/b] (eliptyczną, hiperboliczną lub paraboliczną), [/*][*][b]prostą[/b], [b]płaszczyznę[/b], [b]dwie płaszczyzny[/b] (przecinające się lub równoległe), [/*][*][b]zbiór jednopunktowy[/b] lub [b]zbiór pusty[/b].[/*][/list]Przy czym druga i trzecia grupa to tzw. powierzchnie zdegenerowane.[br][br]Na następnej stronie równanie powierzchni stopnia drugiego przedstawimy w mniej ogólnej postaci niż postać (1). Tym nie mniej będzie ono również opisywać wszystkie rodzaje powierzchni wymienionych wyżej kwadryk i kwadryk zdegenerowanych.
Które z równań przedstawiają powierzchnie zdegenerowane? Sprawdź swoje odpowiedzi za pomocą powyższego apletu. Dla danego równania ustaw niezerowe wartości [math]a[/math], [math]b[/math] lub [math]c[/math], jeśli w nim występują.
Torus
Krzywa Vivianiego
Narysujemy krzywą przecięcia sfery o równaniu [math]x^2+y^2+z^2=4[/math] z walcem kołowym [math]x^2+y^2=2x.[/math]
Powierzchnia obrotowa
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon] Aby uzyskać wykres powierzchni powstałej z obrotu krzywej [math]y=f\left(x\right)[/math] dookoła osi [math]Ox[/math] lub [math]Oy[/math] stosujemy w GeoGebrze polecenie [b]Powierzchnia(...)[/b], którego argumentami są: wyrażenie określające wzór funkcji lub nazwa funkcji wcześniej zdefiniowanej, nazwa suwaka określającego zakres obrotu oraz prosta, która jest osią obrotu. Warto też zwrócić uwagę na zapis wywołania osi układu współrzędnych: [math]OśX[/math], [math]OśY[/math] oraz [math]OśZ[/math]. Natomiast obrót wykresu funkcji możemy wykonać za pomocą polecenia [b]Obrót(...)[/b] o tych samych argumentach.
Ćwiczenie 1.
Aby odpowiedzieć na poniższe pytania skorzystaj z powyższego apletu . [b][br]1)[/b] W przypadku której krzywej i jakiej osi otrzymamy: a) sferę, b) paraboloidę obrotową, c) hiperboloidę jednopowłokową, d) hiperboloidę dwupowłokową? [br][b]2) [/b]Dodaj do listy [math]l1[/math] wyrażenie [math]x-1[/math]. Narysuj powierzchnie obrotowe otrzymane przez obrót prostej y=x-1 a) dookoła osi [math]Ox[/math], b) dookoła osi [math]Oy[/math]. Nazwij je oraz podaj ich równania w postaci [math]F(x,y,z)=0[/math]. [br]Aby włączyć oś [math]Oz[/math] rozwiń Pasek Stylu w Widoku 3D i wybierz odpowiednią opcję z listy.[br][br]
Dwa walce kołowe
Przykład 1.
Wyznaczymy zbiór ograniczony powierzchniami walców o równaniach[br][center][math]x^2+y^2=1[/math], [math]x^2+z^2=1[/math].[/center]