Ma3b
En arbetsbok för Ma3b som följer Libers bok.
Table of Contents
- Ekvationer och funktioner
- Repetition av räta linjen
- Grafer och nollställen
- Olikheter
- Linjär optimering
- Derivator
- Ändringskvot
- Sekant, tangent och derivata
- Historia: Matematisk analys
- Kort om gränsvärden
- Derivatan
- Tangenten till en kurva
- Funktionens graf från derivatan
- Derivatans graf
- Andraderivatan
- Maximi- och miniproblem
- Diskontinuerliga funktioner
- Talföljder och talet e
- Talföljder
- Geometriska talföljder
- Geometriska talföljdens summa
- Funktionen y=e^x
- Historia: Mer om Leonhard Euler
- Integraler
- Primitiva funktioner
- Integraler
- Arean av ett område mellan två kurvor
Repetition av räta linjen
Räta linjens ekvation skrivs på följande sätt på k-form:[br][math]y=kx+m[/math][br]och på följande sätt på allmän form:[br][math]ax+by+c=0[/math][br][br]Vanligast är att vi använder k-form.[br][br]k är riktningskoefficienten och anger linjens lutning.[br]Man kan beräkna den genom att ta skillnaden mellan två punkters koordinater och se förändringen mellan dem.[br][math]k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br]En rät linje är stigande om [math]k>0[/math], fallande om [math]k<0[/math] och parallell med x-axeln om [math]k=0[/math][br][br]m anger var linjen skär y-axeln. Alltså genom en punkt med koordinat (0,m).[br]Om m saknas skär den räta linjen i origo och kallas att den är proportionell.
Ändringskvot
En genomsnittlig förändring kallas ändringskvot.[br]Det kan exempelvis vara hyror, temperaturer eller sträckor.[br]Förändringarna är oftast över perioder så som ökning/år, ökning/sekund eller minskning/timme.
Om man ska ta reda på ändringskvoten av något, till exempel hastigheten hos en bil. Då tar man hur långt bilen förflyttat sig, sträckan, under en viss tid[br][math]hastigheten=\frac{sträckan}{tiden}[/math].[br]Om bilen förflyttat sig 180 km på två timmar får vi ut genomsnittshastigheten som[br][math]hastigheten=\frac{180km}{2h}=90km\slash h[/math].
När vi studerar detta som exempelvis i ett koordinatsystem räknar vi skillnaden i y-led genom skillnaden i x-led. Som skrivs med grekiska bokstaven Δ "delta", Δy genom Δx.[br]En genomsnittlig förändring [math]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math] kallas ändringskvot.
Studera gärna hur ändringskvoten förändras. Du kan själv välja vilket funktion, f(x), som ska studeras och Δx mellan 0 och 20. Tänk på att decimaltal skrivs med . och inte ,.
Här är en anpassad graf för temperaturen i Oskarshamn 2016-06-29
Uppgift 1
Vad är den genomsnittliga temperaturförändringen de 20 första timmarna?[br]Skriv ditt decimalsvar med ,
Uppgift 2
Vad är den genomsnittliga temperaturförändringen mellan klockan 15:00 och 16:00?
Uppgift 3
Vad är temperaturförändringen mellan 08:30 och 10:15?
Uppgift 4
Hur räknar man ut ändringskvoten?
Talföljder
Vi kan ha en sekvens av siffror, detta kallas för en talföljd.[br]Exempelvis kan vi ha[math]4,6,8,10,12...[/math] Här kan vi se att man lägger till 2 på varje siffra för att få nästa. Alltså är det sjätte talet 14. [br]Man brukar skriva elementen (alltså delarna talföljden innehåller) som [math]a_1,a_2,a_3,a_4...[/math] och då ser man vilket som är första, andra tredje, osv. talet.[br]Talföljden ovan kan skrivas som [math]a_n=2\cdot n+2[/math] där n är vilken siffra i ordningen. Exempelvis:[br][math]a_3=2\cdot3+2=8[/math][br]Nedan kan du skriva in [math]a_n[/math] för att se hur talföljden blir (30 första elementen), även som punkter. Även räkna ut ett visst element.
Primitiva funktioner
Ibland kan man behöva veta vad något kommer från. Säg att vi ser en förändring men vill veta var den kommer i från.[br]Då tar vi reda på den primitiva funktionen. Det är som att derivera baklänges.[br]Vi vet att:[br][math]f\left(x\right)=x^2+4x+8\Longrightarrow f'\left(x\right)=2x+4[/math][br]Men om vi bara har derivatan, så måste vi kunna gå baklänges.[br]Då gäller det att tänka på vad som hänt när man tar fram derivatan.[br]Till att börja med så kan man säga att man tar bort ett x från alla ställen.[br]Det skulle i så fall innebära:[br][math]2x+4\Longrightarrow2x^2+4x[/math][br]Men sedan så tar man ju och multiplicerar med värdet hos exponenten när man deriverar. Då får man dividera med exponentens värde. Då borde de innebära:[br][math]2x+4\Longrightarrow\frac{2x^2}{2}+\frac{4x}{1}=x^2+4x[/math][br]Men när man deriverar och bara har en konstant då tar man ju bort den. Så om vi deriverar baklänges måste vi lägga till konstant. Nu vet vi ju inte vilken konstanten är så då får vi sätta dit en bokstav. ofta används C.[br][math]2x+4\Longrightarrow x^2+4x+C[/math][br]Detta är ju väldigt likt det vi började med, fast vår 8 har blivit ett C.[br]Det är i alla fall en grundläggande princip eller tanke man kan använda.[br][br]Mer formellt skriver man en primitiv funktion med versal.[br][math]f\left(x\right)=8x^3+4x\Longrightarrow F\left(x\right)=\frac{8x^4}{4}+\frac{4x^2}{2}+C=2x^4+2x^2+C[/math][br]eller[br][math]g\left(x\right)=e^x\Longrightarrow G\left(x\right)=e^x+C[/math][br][br][math]F(x)[/math] är en primitiv funktion till [math]f(x)[/math] om [math]F'(x)=f(x)[/math].[br][br]För att ta reda på konstanten C behöver man känna till mer eller veta några egenskaper.[br]Säg att vi ska bestämma den primitiva funktionen till [math]f\left(x\right)=12x^3+4[/math] så att [math]F(1)=0[/math].[br][math]F\left(x\right)=\frac{12x^4}{4}+\frac{4x}{1}+C=3x^4+4x+C[/math][br]Vidare gäller då:[br][math]F\left(1\right)=3\cdot1^4+4\cdot1+C=3+4+C=7+C[/math][br]Men:[br][math]F\left(1\right)=0[/math][br][math]7+C=0[/math][br][math]C=-7[/math][br]Så att:[br][math]F\left(x\right)=3x^4+4x-7[/math]
Kul-problem
Jag stötte på ett kul problem om kulor på ett matematikforum för flera år sedan.[br]Man skulle ta reda på en formel för att beräkna antal kulor i en viss nivå av figur om man byggde dem som i en pyramid. Det kom in många avancerade svar och lösningar på forumet som jag inte förstod.[br]Jag löste den genom ett tänk med derivata och primitiva funktioner. Min lösning mottogs mycket varmt som en bra enkel lösning.[br]Nedan finns en skiss för en enklare version av problemet, man bygger som i en triangel, en 2D pyramid i stället för 3D. Men principen är den samma.
Lösningen gick ut på att ta reda på hur många kulor det fanns i de första figurerna och sedan kolla på hur det förändras och hur förändringen förändras.[br]När man kommer i detta fallet till andraderivatan är förändringen 1 hela tiden.[br]Då vet vi att[br][math]f''(x)=1[/math][br]Då kan vi ta reda på derivatan som är en primitiv funktion till derivatan:[br][math]f'(x)=x+C[/math][br]Nu kan vi ta reda på funktionen på samma sätt:[br][math]f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+Cx+D[/math][br]Nu tar vi reda på konstanterna genom att sätta in information vi känner till. Exempelvis vet vi att vid nivå 0 är där 0 kulor:[br][math]f\left(0\right)=\frac{0^2}{2}+C\cdot0+D=0[/math][br][math]D=0[/math][br]Sedan kan vi sätta i för nivå 1 ger 1 kula:[br][math]f(1)=\frac{1^2}{2}+C\cdot1=1[/math][br][math]\frac{1}{2}+C=1[/math][br][math]C=\frac{1}{2}[/math][br]Då kan vi skriva och snygga till det:[br][math]f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}=\frac{x\left(x+1\right)}{2}[/math][br]Vi testar 5 kulor:[br][math]f\left(5\right)=\frac{5\left(5+1\right)}{2}=\frac{5\cdot6}{2}=\frac{30}{2}=15[/math][br]Det verkar ju stämma.