Nach [i][b]G.D. Cassini[/b][/i] (165-1712) sind die [i][b]CASSINI[/b][/i]-Kurven ([size=85]manchmal auch [i][b]CASSINI[/b][/i]-[i][b]Lemniskaten[/b][/i][/size]) benannt: das sind Kurven, für die das [i][b]Produkt[/b][/i] der Abstände von zwei Punkten konstant ist. [i][b]Cassini[/b][/i] hat diese Kurven [i][b]KEPLER[/b][/i] als alternative Planetenbahnen vorgeschlagen, doch die Kurven mit der [i]Gärtnerkonstruktion[/i], nämlich die [i]Ellipsen[/i], für welche die [i][b]Summe[/b][/i] der Abstände von 2 Brennpunkten konstant ist, haben das Rennen gewonnen.[br]Wir untersuchen zunächst diejenigen [i][b]HERMITE[/b][/i]schen Produkte [math]\mathbf\vec{g}_1\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2[/math], deren zwei Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2,\in \mathbf\mathcal{G}[/math] zusammen vier verschiedene Pole besitzen. Dazu wählen wir das euklidische KOS ([size=50]siehe Hilfe unten[/size]) so, dass die Pole in Normalform liegen: ([size=85]siehe hierzu auch[b] Abschnitt 4[/b] über die [i][b]Lage von 4 Punkten[/b][/i][/size])[br] [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_1[/math] sei die Verbindungsgerade von [math]f[/math] und [math]-f[/math], [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_2[/math] die Verbindungsgerade von [math]1/f[/math] und [math]-1/f[/math] mit [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_i\,^2=-1[/math].[br]Nützlich ist auch die Darstellung der Pole in Polarkoordinaten [math]f=\rho\cdot e^{i\cdot\psi}\,,1/f=1/\rho\cdot e^{-i\cdot\psi}[/math].[br][right][/right][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [b][i][color=#980000]GeoGebra[/color][/i][/b]-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size]

In Normalform sind [math] \mathbf\dot{\vec{g}}_1=\frac{1}{2f}\cdot\left(-f^2\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)\mbox{ und }\mathbf\dot{\vec{g}}_2=\frac{f}{2}\cdot\left(-\frac{1}{f^2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)[/math] die normierten Verbindungs-geraden.[br]Der von [math]\mathbf\vec{p}_{\infty}\mbox{ und }\mathbf\vec{p}_0[/math] aufgespannte komplexe zwei-dimensionale Unterraum [math]\mathbf\mathcal{U} [/math] läßt sich als Möbiusebene auffassen, die Wurzel-Abbildung [math]w\mapsto z\mbox{ mit }z=\sqrt{w}[/math] ist durch die Projektion [math]\frac{w}{2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\mathbf\vec{p}_0\mapsto\frac{z^2}{2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0[/math] im Geradenraum [math]\mathbf\mathcal{G} [/math] einfach zu überblicken. Geometrisch kann diese Projektion mit Hilfe des [i][b]Höhensatzes[/b][/i] konstruiert werden (siehe [i][b]nächstes Blatt[/b][/i]).[br]Mit [math] \mathbf\vec{g}_1=e^{i\cdot\varphi}\cdot\mathbf\dot{\vec{g}}_1\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_2=\mathbf\dot{\vec{g}}_2[/math] gilt nun wegen: [math] \mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}(z)=\frac{e^{i\cdot\varphi}}{2f}\cdot\left(z^2-f^2\right)\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p}(z)=\frac{f}{2}\cdot\left(z^2-\frac{1}{f^2}\right)[/math][br][list][/list][list][*]Die Quartik [math]\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge\\ \tiny{h} \end{tabular}\,\normalsize \mathbf\vec{g}_2\left(\mathbf\vec{p}\left(z\right),\mathbf\vec{p}\left(z\right)\right)=\left(e^{i\cdot\varphi}\cdot\mathbf\dot{\vec{g}}_1\right)\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\dot{\vec{g}}_2\left(\mathbf\vec{p}\left(z\right),\mathbf\vec{p}\left(z\right)\right)=[/math][br][math]\mbox{ }=\mathbf{Im}\left(\frac{e^{i\cdot\varphi}}{2f}\cdot\left(z^2-f^2\right)\cdot\overline{\frac{f}{2}\cdot\left(z^2-\frac{1}{f^2}\right)}\right)=\mathbf{Im}\left(\frac{e^{i\cdot\varphi-2\psi}}{4}\cdot\left(z^2-f^2\right)\cdot\left(\overline{z}\,^2-\frac{1}{\overline{f}\,^2}\right)\right)=0[/math] [br]ist der Ort der Punkte, in welchem sich die zu [math]\mathbf\vec{g}_1[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_2[/math] gehörenden W-Kurven berühren. Das ist zugleich der Ort, in welchem sich die Kreise durch [math]f,-f[/math] und die durch [math]1/f,-1/f[/math] unter dem Winkel [math]\varphi[/math] schneiden. Es handelt sich also bei diesen Orten um die möbiusgeometrische Verallgemeinerung der [i][b]Fasskreise[/b][/i] der euklidischen Geometrie.[size=85] [br][i][b]Fasskreise[/b][/i] sind die Kreise, in welchen die Geraden durch einen Punkt [/size][math]p[/math] [size=85]die Geraden durch einen 2.ten Punkt[/size] [math]q[/math] [size=85]unter einem vorgegebenen Winkel (modulo [/size][math]\pi[/math][size=85]) schneiden.[/size][br][/*][*]In [math]\mathbf\mathcal{U}[/math] ist für [math]w=z^2[/math] die Gleichung [math]\mathbf{Im}\left(\frac{e^{i\cdot\varphi-2\psi}}{4}\cdot\left(w-f^2\right)\cdot\left(\overline{w}-\frac{1}{\,\overline{f\,^2}\,}\right)\right)=0[/math] die Gleichung eines Kreises durch die Punkte [math]f^2[/math] und [math]\frac{1}{f^2}[/math]. Der Peripheriewinkel ist [math]\varphi-2\psi \;\mathbf{ mod }\;\pi[/math]. [br]Der Mittelpunkt wird berechnet: [math]m=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ρ²} + ρ²\right) \frac{sin(φ)}{sin(φ - 2ψ)} + ί \frac{1}{2} \left(\frac{1}{ ρ²} - ρ²\right) \frac{cos(φ)}{sin(φ - 2ψ)}[/math]. [br][/*][*]Für [math]z^2=w[/math] bedeutet die Kreisgleichung [math]\left|w-m\right|^2-\tau^2=0[/math] mit [math]\tau=|m-f^2|[/math] in [math]\mathbf\mathcal{U}[/math]:[br] [math]|z-o|^2\cdot|z+o|^2=\tau^2[/math] mit [math]o=\sqrt{m}[/math] und [math]\tau^2=|m^2-f^2|[/math][/*][/list][u][b][center]**********************************************************************************************[/center]Fazit:[/b][/u] Der Ort [math]\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge\\ \tiny{h} \end{tabular}\,\normalsize \mathbf\vec{g}_2[/math], in welchem sich die zu [math] \mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_1[/math] gehörenden W-Kurven berühren, ist eine [i][b]Cassini[/b][/i]-[i][b]Kurve[/b][/i]. Auf dieser Kurve schneiden sich die Kreise durch [math]f,-f[/math] und durch [math]1/f,-1/f[/math] unter dem konstanten Winkel [math]\varphi[/math].[br]Die [i][b]CASSINI-Quartik[/b][/i] ist das Bild eines Kreises [math]K[/math] unter der komplexen [i][b]Wurzel-Funktion [/b][/i][math]z=\sqrt{w}[/math]. [br]Die [i][b]Cassini[/b][/i]-Kurve geht durch die Pole [math]f=\rho\cdot e^{i\psi},-f,1/f,-1/f[/math] der Infinitesimalen [math] \mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_1[/math], [br]der Kreis [math]K[/math] geht durch die Punkte [math]f^2[/math] und [math]1/f^2[/math] und ist Peripheriewinkelkreis zum Winkel [math]\varphi+2\psi[/math]. [br][u][b][center]***********************************************************************************************[/center][/b][/u]Mit den genannten Angaben kann man diese [b][i]Berührorte[/i][/b] mit Hilfe der Wurzel-Funktion, also eigentlich mit Hilfe des Höhensatzes, als [b][i]Ortskurven[/i][/b] konstruieren.[br][br]Im obigen Applet können der Punkt [math]f=\rho\cdot e^{i\psi}[/math] und der Winkel [math]\varphi[/math] gewählt werden (Punkt auf dem Einheitskreis). Daraus werden [math]f^2[/math] und [math]\frac{1}{f^2}[/math] und der Mittelpunkt [math]m[/math] nach obiger Formel "konstruiert". [br]Der Punkt [math]z^2[/math] auf dem Peripheriewinkelkreis [math]K[/math] läßt sich bewegen und mit ihm der Punkt [math]z[/math] auf der [i][b]Cassini-[/b][/i]Quartik.[br]Besondere Lagen des Winkels [math]\varphi[/math] sind bemerkenswert: [br][list][*][math]\varphi=0[/math] Die Kreise der beiden Büschel [b][i]berühren[/i][/b] sich auf der [i][b]Cassini-Quartik[/b][/i]. Der Mittelpunkt [math]m[/math] des Urbilds [math]K[/math] liegt auf der [math]y[/math]-Achse.[/*][*][math]\varphi=90°[/math] Die Büschelkreise schneiden sich [i][b]orthogonal[/b][/i] auf der Quartik. Der Mittelpunkt [math]m[/math] liegt auf der [math]x[/math]-Achse.[/*][*]Fällt [math]m[/math] auf der Mittelsenkrechten von [math]f\,^2[/math] und[math]1/f\,^2[/math] mit der Mitte der Achsenschnittpunkte zusammen, so erhält man eine [i][b]BERNOULLI-Lemniskate.[/b][/i] Das ist das Bild einer orthogonalen Hyperbel an einem Kreis um den Ursprung.[/*][*]Wählt man [math]f[/math] auf der x-Achse, so liegen alle Pole und deren Quadrate auf der [math]x[/math]-Achse, die Kreismittelpunkte liegen wieder auf der Mittelsenkrechten von [math]f^2[/math] und [math]1/f^2[/math], also senkrecht zur [math]x[/math]-Achse. Liegt [math]m[/math] ebenfalls auf der [math]x[/math]-Achse ([math]\varphi=90°[/math]), so zerfällt die Quartik in die beiden Achsen. [br][/*][/list]Der Mittelpunkt des Kreises [math]m[/math] wird unter der Wurzelabbildung zu [math]\pm o[/math], das sind 2 der insgesamt 4 [i][b]Brenn-punkte[/b][/i], die eine [i][b]CASSINI-Quartik[/b][/i] in der Regel besitzt- mit Ausnahme der [i][b]Bernoulli-Lemniskate[/b][/i] und der zerfallenden Quartik. Die Gerade durch [math]o[/math] und [math]-o[/math] ist Achse der [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartik. [br][size=85]Zu den Brennpunkten bizirkularer Quartiken: [b]Kap10: Quadratische Vektorfelder[/b].[/size][br][br]Auf der Seite [b]CASSINI 2[/b] wird der Berührort auf eine zweite Weise erzeugt: vorgegeben werden die Pole der Infinitesimalen. Die Punkte auf einem Kreis durch [math]f\,^2[/math] und [math]1/f\,^2[/math], dessen Mittelpunkt [math]m[/math] wählbar ist, werden mit der Wurzelabbildung auf die Punkte einer [i][b]Cassini[/b][/i]-Quartik abgebildet. [br][br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].([color=#ff7700][i]verbessert: September 2019[/i][/color])[/right][/size]