[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/right]Ist [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{G}[/math] irgendein Geradenvektor, so wird durch[list][*][math] \mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math] für alle Berührgeradenvektoren [math] \mathbf\vec{p}\in \mathbf\mathcal{G} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0\mbox{ und } \mathbf\vec{p}^2\bullet \mathbf\vec{g}\ne 0[/math] [/*][/list]auf der Möbiusquadrik ein [b]lineares Vektorfeld[/b] erklärt. Je nach dem Typ von [math]\mathbf\vec{g}[/math] besitzen diese Vektorfelder eine oder zwei Nullstellen: eine, falls [math]\mathbf\vec{g}[/math] selber eine Berührgerade ist, zwei, wenn [math]\mathbf\vec{g} = c\cdot \mathbf\vec{g}_0 [/math] das komplexe Vielfache einer Schnittgeraden [math]\mathbf\vec{g}_0[/math] ist. Die Nullstellen sind die Pole der "Infinitesimalen Bewegung" [math]\mathbf\vec{g}[/math]. Diese Bezeichnung erklärt sich aus dem Zusammenhang zwischen der LIE-Algebra [math]\left( \mathbf\mathcal{G}\;,\left[\;,\right]\,\right)[/math] und der LIE-Gruppe [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math]. [br]Gesucht sind die [i][b]Lösungskurven (Integralkurven)[/b][/i] dieser linearen Vektorfelder.[br][br]Hierzu erklären wir zunächst für jedes [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{G}[/math] die bezüglich [math] \bullet[/math] [b][i]schiefe[/i][/b] Abbildung: [br][list][*][math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}[/math] durch [math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}\left(\mathbf\vec{h}\right) :=\left[\,\mathbf\vec{g}\,,\mathbf\vec{h}\,\right]\mbox{ für alle }\mathbf\vec{h}\in\mathbf\mathcal{G}[/math][/*][/list]und damit die [b][i]Exponentialabbildung[/i][/b][br][list][*][math]\mathbf{exp}\; \mathbf\vec{g} := \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}\right)^n[/math]  [/*][/list]Man kann allgemein zeigen, dass [math]\mathbf{exp}\; \mathbf\vec{g}[/math] für alle [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{G}[/math] eine gleichsinnige Möbiusabbildung ist, dh. in [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] liegt. Wir identifizieren jedoch jede dieser Abbildungen direkt als gleichsinnige Möbiusabbildung und zeigen zudem, dass [math]\mathbf{exp}[/math] surjektiv ist: jede gleichsinnige Möbiusabbildung ist das Bild einer Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{G}[/math] unter der Exponentialabbildung.[br][br][u][b]Fall 1:[/b][/u] [math]\mathbf\vec{g}[/math] ist ein Berührgeradenvektor: [math]\mathbf\vec{g}\,^2=0\[/math]. Wir wählen ein euklidisches Koordinatensystem [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}_\infty =\mathbf\vec{g} [/math]. Damit ist [math] \mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}(z)=\mathbf\vec{p}_\infty\bullet\mathbf\vec{p}(z)\equiv 1\mbox{ für alle } z\in \mathbb{C}[/math] das zugehörige lineare Vektorfeld. [br]Nach den Vertauschungsregeln des euklidischen Koordinatensystems (s.u) erhält man:[br][list][*][math]\mathbf{exp}\left( t\cdot\mathbf\vec{g}\right)\;\mathbf\vec{p}(z)=\mathbf{exp}\left( t\cdot\mathbf\vec{p}_\infty\right)\;\mathbf\vec{p}(z)[/math][br][math]\mbox{ } =\mathbf\vec{p}(z)+t\cdot \left[\,\mathbf\vec{p}_\infty\,,\,\mathbf\vec{p}(z)\,\right] +\frac{t^2}{2}\cdot\left[\,\mathbf\vec{p}_\infty\,,\left[\mathbf\vec{p}_\infty\,,\mathbf\vec{p}(z)\,\right]\right]+\cdots[/math][br][math]\mbox{ } =\mathbf\vec{p}(z+t)[/math] mit reellem oder komplexem t.[br][math]\mathbf{exp}\left( t\cdot\mathbf\vec{g}\right)[/math] ist also in diesem KOS eine Verschiebung um das reelle oder komplexe t.[br][/*][/list][list][*]Die Kurve [math]t\mapsto \mathbf{exp}\left(t\cdot \mathbf\vec{g}\right[/math] ist eine [i][b]W-Bewegung[/b][/i] in [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math], das ist eine Ein-Parameteruntergruppe. [br][/*][/list][list][*]Die Kurve [math]t\mapsto z(t)=z+t \cong\mathbf\vec{p}\left(z+t\right) [/math] ist eine [i][b]W-Kurve[/b][/i] und eine [i]Integralkurve [/i]des Vektorfeldes, in diesem KOS eine Gerade durch [math]z[/math].[/*][/list] [br][u][b]Fall 2:[/b][/u] Ist [math]\mathbf\vec{g}\,^2\ne0\[/math], so wählen wir das euklidische KOS so, dass [math] [br]\mathbf\vec{g}=w\cdot\mathbf\vec{g}_0\mbox{ für ein geeignetes } w\in \mathbb{C} [/math] gilt. [br]Dann ist [math] \mathbf\vec{g}\bullet \frac{-1}{w\cdot z}\mathbf\vec{p}(z)=\mathbf\vec{g}_0\bullet\frac{-1}{z}\mathbf\vec{p}(z)\equiv 1\mbox{ für alle } z\in \mathbb{C}[/math] das zugehörige lineare Vektorfeld. [br]Wieder mit den Vertauschungsregel des euklidischen KOS ergibt sich[br][list][*][math]\mathbf{exp}\,\left(t\cdot\mathbf\vec{g}\right)\;\frac{-1}{w\,z}\mathbf\vec{p}(z)=\mathbf{exp}\,\left( t\,w\cdot\mathbf\vec{g}_0\right)\;\frac{-1}{w\,z}\mathbf\vec{p}(z)[/math][br][math]\mbox{ } =\frac{-1}{w\,z}\cdot\left(\mathbf\vec{p}(z)+t\,w\cdot\left[\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}(z)\,\right]+\frac{\left(t\,w\right)^2}{2}\cdot\left[\,\mathbf\vec{g}_0\,,\left[\mathbf\vec{g}_0\,,\mathbf\vec{p}(z)\,\right]\right]+\cdots \right)[/math][br][math]\mbox{ } =\frac{-1}{w\,z}\cdot\left(\frac{z^2}{2}\cdot e^{-t\,w}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+e^{t\,w}\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)[/math][br][math]\mbox{ } =\frac{-e^{t\,w}}{w\,z} \left(\frac{1}{2}\left(z\,e^{-t\, w}\right)^2\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+z\,e^{-t\,w}\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0\right)[/math][br][math]\mbox{ } =\frac{-1}{w\,z\,e^{-t\,w}} \left(\mathbf\vec{p}(z\,e^{-t\,w})\right)[/math][br][/*][/list][list][*]Erneut ist die Kurve [math]t\mapsto \mathbf{exp}\left(t\cdot \mathbf\vec{g}\right)[/math] in [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] eine [i][b]W-Bewegung[/b][/i] . [br][/*][/list][list][*]Die Kurve [math]t\mapsto z(t)=e^{-t\,w}\,z \cong\mathbf\vec{p}\left(z\left(t\right)\right) [/math] ist eine [i][b]W-Kurve[/b][/i] und eine [i]Integralkurve [/i]des Vektorfeldes durch [math]z[/math], im gewählten KOS handelt es sich je nach dem Argument von [math]w[/math] um eine logarithmische Spirale, eine Ursprungsgerade oder einen um den Ursprung konzentrischen Kreis.[/*][/list] [br]Die [b][i]Umrechnungsformeln[/i][/b] für euklidische Koordinatensysteme:[br][list][br] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline \bullet & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline \end{tabular}[/math][br][/list][br][color=#741B47][size=85][right]Das Vektorfeld unten wurde mit [b]Cinderella.2[/b] erstellt, hier nur als Bild, im Original ziemlich beweglich![/right][/size][/color]