Derivointikursseilla opittiin yhdistetyn funktion derivointi ([b]ketjusääntö[/b]):[br][math]D\left[U\left(s\left(x\right)\right)\right]=U'\left(s\left(x\right)\right)\cdot s'\left(x\right)[/math][br][br][color=#a64d79][u]Esimerkki[/u][/color]. [math]D\left(x^2+1\right)^5=5\cdot\left(x^2+1\right)^4\cdot2x[/math].[br][br]Yhdistetyn funktion integrointi on ketjusäännön käänteinen toimitus.[br][math]\int U'\left(s\left(x\right)\right)\cdot s'\left(x\right) dx=U\left(s\left(x\right)\right)+C[/math] [br][br][color=#a64d79][u]Esimerkki[/u]. Edellisen esimerkin perusteella[/color] [math]\int 5\cdot\left(x^2+1\right)^4\cdot2x dx= (x^2+1)^5+C[/math].[br][br]Oleellista on huomata, että [b]sisäfunktion derivaatta[/b] [math]s'(x)[/math] [b]pitää olla osa integroitavaa lauseketta[/b], ja että se [b]"katoaa" integroitaessa[/b].

Yhdistetyn funktion integroimissääntöä noudattaen[br][br][math]\int\left(s\left(x\right)\right)^r\cdot s'\left(x\right)dx=\frac{1}{r+1}\cdot\left(s\left(x\right)\right)^{r+1}+C[/math][br]kun [math]r\ne -1[/math]. Tapaus [math]r=-1[/math] käsitellään myöhemmin.[br][br]Jos sisäfunktion derivaatta ei ole suoraan näkyvissä, se pitää muokata "väkisin" esiin kaavan edellyttämään muotoon.[br][br][color=#a64d79][u]Esimerkki[/u]. Laske [math]\int(2x-1)^3dx[/math].[br][br]Sisäfunktio on [math]s(x)=2x-1[/math]ja sen derivaatta [math]s'(x)=2[/math]. Muokataan lauseketta niin, että sisäfunktion derivaatta tulee esiin (vaihe 1) ja siirretään vakiokerroin ulos integraalista (vaihe 2) ennen integrointia (vaihe 3) ja sieventämistä (vaihe 4):[br][br][math]\int(2x-1)^3dx=\int(2x-1)^3\cdot2\cdot\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\int(2x-1)^3\cdot2dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}(2x-1)^4dx+C=\frac{1}{8}(2x-1)^4 dx+C[/math].[/color][br][br][color=#a64d79][u]Esimerkki[/u]. Laske [math]\int x\sqrt{5x^2-1} dx[/math].[br][br]Sisäfunktio on [math]s(x)=5x^2-1[/math]ja sen derivaatta [math]s'(x)=10x[/math]. Muokataan lauseke potenssifunktioksi ja otetaan sisäfunktion derivaatta esiin tuoden samalla vakiokerroin ulos integraalista [color=#a64d79](vaihe 1), suoritetaan integrointi[/color] missä sisäfunktion derivaatta katoaa (vaihe 2) ja lopuksi sievennetään (vaihe 3):[br][br][math]\int x\sqrt{5x^2-1}dx=\frac{1}{10}\cdot\int10x(5x^2-1)^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{10}\cdot\frac{2}{3}\cdot(5x^2-1)^{\frac{3}{2}}dx+C=\frac{1}{15}\cdot(5x^2-1)\sqrt{5x^2-1}dx+C[/math].[/color][br][br]Huomautuksia[br][list][*]Vain vakiokertoimen saa siirtää integraalin eteen. Muuttujaa [math]x[/math] sisältävää lauseketta ei koskaan saa ottaa ulos integraalista![/*][*]Integroinnin voi aina tarkistaa derivoimalla.[/*][*]On olemassa myös tilanteita, joissa integrointi on mahdotonta![br][/*][/list]