[size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size][br]Im Kreis-Modell der [i][b]Hyperbolischen Ebene[/b][/i] von [b]BELTRAMI[/b] und [b]Felix KLEIN[/b] sind ...[br][list][*] PUNKTE die Punkte, die im Inneren des [color=#f1c232][i][b]absoluten Kreises[/b][/i][/color] liegen,[/*] [br][*] GERADEN die im Inneren verlaufenden Geradenstücke,[/*] [br][*] zwei GERADEN [color=#0000ff][i][b]ORTHOGONAL[/b][/i][/color], wenn die Geraden jeweils durch die [color=#666666][i][b]Pole[/b][/i][/color] der anderen Geraden gehen.[/*][/list]GERADENspiegelungen[b](*)[/b] lassen die PUNKTE auf der GERADEN, den [/size][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color][/size] und den [color=#666666][i][b]Pol[/b][/i][/color] der Geraden fest.[br]Um den MITTELPUNKT zweier PUNKTE [color=#00ffff][b]p[/b][/color] und [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf einer GERADEN [color=#666666][b]g[/b][/color] zu konstruieren, verbinde man [color=#00ffff][b]p[/b][/color] und [color=#00ffff][b]q[/b][/color] mit dem [color=#666666][i][b]Pol[/b][/i][/color] von [/size][size=85][size=85][color=#666666][b]g[/b][/color][/size]. [br]Die entstehenden GERADEN sind ORTHOGONAL zu [color=#666666][b]g[/b][/color]; [br]sie [/size][size=85]schneiden den [/size][size=85][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color][/size][/size][/b][/i][/color][/size][/size] jeweils in zwei Punkten. Verbindet man diese Punkte "über Kreuz", [br]so schneiden sich die entstehenden GERADEN im [color=#ff0000][b]MITTELPUNKT[/b][/color] [color=#ff0000][b]m[/b][/color] der Strecke [color=#00ffff][b]pq[/b][/color].[br][color=#ff0000][b]m[/b][/color] verbunden mit dem [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Pol[/b][/i][/color] von [/size][size=85][size=85][color=#666666][b]g[/b][/color][/size][/size] liefert die MITTELSENKRECHTE zur [/size][size=85][size=85]Strecke [color=#00ffff][b]pq[/b][/color][/size].[br]Die [color=#0000ff][i]hyperbolischen ABSTÄNDE[/i][/color] der PUNKTE [color=#00ffff][b]p[/b][/color] und [color=#00ffff][b]q[/b][/color] von [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][b]m[/b][/color][/size] sind gleich groß.[br]Wie mißt man den [color=#0000ff][i]hyperbolischen Abstand[/i][/color] zweier PUNKTE [color=#00ffff][b]p[/b][/color], [color=#00ffff][b]q[/b][/color]?[br]Die Gerade [/size][size=85][size=85][color=#666666][b]g[/b][/color][/size] = [/size][size=85][color=#666666][size=85][b]pq[/b][/size][/color] schneidet den [/size][size=85][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color][/size][/size] in 2 Punkten r,s. [br]Wir betrachten alle Punkte als komplexe Zahlen in [math]\mathbb{C}[/math].[br]Das komplexe Doppelverhältnis von 4 Punkten [math]a,b,c,d\in\mathbb{C}[/math] [br][list][*] [math]\mathbf{dv}\left(a,b,c,d\right):=\frac{a-c}{b-c}\cdot\frac{b-d}{a-d}[/math] ist reell für Punkte, die auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.[/*][/list]Der [color=#0000ff][i]hyperbolisch Abstand[/i][/color] [math]\mathbf{dist_{pq}}:=\ln\left(\mathbf{dv}\left(r,s,q,p\right)\right)[/math][b](**)[/b] besitzt alle Eigenschaften, die man von einer Längenmessung verlangt.[br][/size][br][size=50][b](*)[/b] Geradenspiegelung ist hier projektiv gemeint.[br](**) In [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] ist das Doppelverhältnis komplex, die ln-Funtion rechnet daher auch komplex, [br] korrekt wird der [i][color=#0000ff]hyperbolische Abstand[/color][/i] in [/size][size=50][size=50][color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color][/size] mit [math]\mathbf{dist_{pq}}:=|\ln\left(\mathbf{dv}\left(r,s,q,p\right)\right)|[/math] berechnet.[br] Da [math]dv\left(r,s,p,q\right)=\frac{1}{dv\left(r,s,q,p\right)}[/math] gilt, ist die [b]dist[/b]-Funktion damit von der Reihenfolge von [color=#00ffff][b]p[/b][/color] und [color=#00ffff][b]q[/b][/color] unabhängig.[br][/size]

[size=85]KREISE im Kreisscheibenmodell von [b]BELTRAMI [/b]und [b]KLEIN[/b] sind im Gegensatz zu den Kreisen im [b]POINCARÉ[/b]'schen Modell [br]keine Kreise (im euklidischen Sinne). Jedoch lassen sich die KREISE wie in der euklidischen Ebene definieren [br]als die Menge aller [color=#cc0000][b]PUNKTE[/b][/color], die von einem PUNKT [color=#ff0000][b]m[/b][/color] denselben [color=#0000ff][i]hyperbolischen ABSTAND[/i][/color] besitzen. [br][color=#ff0000][b]m[/b][/color] und [color=#ff7700][b]p[/b][/color] seien gegeben. Man konstruiere den SpiegelPUNKT von [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][b]p[/b][/color][/size] bezüglich [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][b]m[/b][/color][/size]. [br]Dazu konstruiere man zunächst die [color=#00ff00][b]ORTHOGONALE[/b][/color] zur [color=#00ff00][b]GERADEN[/b][/color] [color=#ff7700][b]p[/b][/color][color=#ff0000][b]m[/b][/color] durch [color=#ff0000][b]m[/b][/color].[br]Die hyperbolischen WINKELHALBIERENDEN werden mit Hilfe der Schnittpunkte des [color=#BF9000][i][b]absoluten Kreises[/b][/i][/color][br]mit den Geraden [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][b]p[/b][/color][color=#ff0000][b]m[/b][/color][/size] und mit deren NORMALEN in [color=#ff0000][b]m[/b][/color] konstruiert.[br][color=#ff7700][b]p[/b][/color] wird hyperbolisch an diesen WINKELHALBIERENDEN gespiegelt: [color=#ff7700][b]p'[/b][/color], [color=#ff7700][b]p''[/b][/color]. [br]Eine weitere SPIEGELUNG liefert den gesuchten SpiegelPUNKT [color=#ff7700][i][b]p'''[/b][/i][/color] von [color=#ff7700][b]p[/b][/color] an [color=#ff0000][b]m[/b][/color]. [br]Die 4 PUNKTE [color=#ff7700][b]p[/b][/color], [color=#ff7700][b]p'[/b][/color], [color=#ff7700][b]p''[/b][/color], [color=#ff7700][b]p'''[/b][/color] sind Punkte des gesuchten KREISES um [color=#ff0000][b]m[/b][/color].[br]Die ORTHOGONALE zu [color=#ff7700][b]p[/b][/color][color=#ff0000][b]m[/b][/color] in [color=#ff7700][b]p[/b][/color] muß Tangente an diesen KREIS sein.[br]Gesucht ist ein [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] durch 4 Punkte mit einer vorgegebenen Tangente in einem der Punkte.[br]Ein solcher [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] ist eindeutig bestimmt, wenn die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.[br]Konstruiert wurde dieser Kegelschnitt mit einem [color=#666666][i][b]benutzerdefinierten Werkzeug[/b][/i][/color], [br]siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/ndfvacch][u][color=#cc0000][i][b]Kegelschnitt-Werkzeuge[/b][/i][/color][/u][/url].[/size][br]