[size=85]Ist die absolute Invariante eines quadratischen Vektorfeldes [i][b]reell[/b][/i], so gibt es stets einen Symmetriekreis, [br]auf dem mindestens 2 der Brennpunkte liegen:[/size][br][list][*]4 verschiedene Brennpunkte auf einem Kreis[/*][*]2 Brennpunktpaare, die spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen liegen[/*][*]2 einfache und ein doppelt zählender Brennpunkt; 3 Punkte liegen stets auf einem Kreis.[/*][*]1 einfacher und ein 3-fach zählender Brennpunkt, diese liegen auf dem Symmetriekreis[/*][/list][size=85]Wir wählen diesen Kreis im Kugelmodell der Möbiusebene als Einheitskreis in der [math]z=0[/math] Ebene. [br]In der Projektion der Möbiuskugel vom Fernpunkt des Kreises auf die Ebene des Einheitskreises [br]ergeben sich die folgenden 4 Fälle: [/size][br][list][size=85][*]4 Brennpunkte auf dem Kreis mit 4 Kreistangenten. Sie lassen sich symmetrisch zu den Achsen anordnen. [br]Durch jeden Punkt im Inneren des Kreises, von den Punkten auf den Achsen abgesehen, [br]gehen 2 "Brennkreise" (rot), deren Winkelhalbierenden die Richtungen des quadratischen [br]Vektorfeldes in der Projektion ergeben. Zu 5 vorgegebenen Geraden gibt es genau einen [br]Kegelschnitt mit diesen Geraden als Tangenten. [br]Das ergibt Kegelschnittbüschel, deren Kegelschnitte das Innere des Kreises 2-teilig schneiden.[br]In der Projektion auf die Möbiuskugel entstehen 2-teilige bizirkulare Quartiken.[/*][*]2 Brennpunkte auf dem Kreis mit 2 Kreistangenten. 2 Brennpunkte auf der 2. Symmetrieachse, die in der [br]Projektion zusammenfallen. Zu jedem Punkt im Inneren des Kreises ohne die Punkte auf der Achse [br]gehen 2 "Brennkreise", deren Winkelhalbierende wieder die Richtungen des quadratischen [br]Vektorfeldes vorgeben. Nimmt man den zur Achse symmetrischen Punkt und die gespiegelten Richtungen hinzu, [br]lassen sich die Kegelschnitte aus 4 Geraden durch einen Punkt konstruieren. [br]Diese Kegelschnitte schneiden das Innere 1-teilig, die zugehörigen bizirkularen Quartiken sind 1-teilig.[/*][*]3 Brennpunkte auf dem Kreis, der 3. liegt auf der Symmetrie-Achse. [br]Die Brennkreise (einer geht durch den 2-fach zählenden Brennpunkt auf der Achse) [br]und deren Winkelhalbierende geben wieder die Richtungen vor. [br]Zusammen mit dem gespiegelten Punkt und den gespiegelten Richtungen [br]erhält man aus 5 Geraden die tangierenden Kegelschnitte. [br]In der Projektion auf die Möbiuskugel ergeben sich konfokale Kegelschnitte als Lösungskurven, [br]wenn man den 2-fachen Brennpunkt als [math]\infty[/math] und den Kreis als x-Achse wählt.[/*][*]2 Brennpunkte auf dem Kreis, einer zählt 3-fach. Der Kreis selber ist die einzige Symmetrieachse. [br]Die Brennkreise durch einen Punkt im Inneren sind die Geraden durch die Brennpunkte [br]und diesen Punkt. Deren Winkelhalbierende liefern die Richtungen. [br]In der Figur oben wird ein wenig gemogelt: ein Kegelschnitt, welche eine Gerade 3-fach berührt, [br]zerfällt in diese Gerade und eine weitere Gerade. Wir behelfen uns mit 2 nahe beim [br]3-fachen Brennpunkt auf dem Kreis liegenden Punkten. [br]Durch 4 Punkte gehen 2 Kegelschnitte mit einer vorgebebenen Tangente. [br]Der Kreis ist Krümmungskreis dieser Kegelschnitte. [br]Als Bild auf der Möbiuskugel erhält man [i]x[/i]-Achsen-symmetrische konfokale Parabeln, [br]wenn man den 3-fachen Brennpunkt als [math]\infty[/math] und den Kreis als [i]x[/i]-Achse wählt. [/*][/size][/list][size=85][u][i]Bemerkung:[/i][/u] Eigentlich sind die oben gebrauchten Begriffe Begriffe der [i]hyperbolischen Ebene[/i] im Kreis-Modell von [i][b]FELIX KLEIN[/b][/i]. [br]"Geraden" sind die im Inneren des absoluten Kreises verlaufenden Geradenstücke. [br]Auf der Kugel sind das die zum absoluten Kreis orthogonalen Kreise. [br]Eigentlich wären die "Brennkreise" die Kreise durch die Brennpunktpaare. [br]In der Projektion sind das Kegelschnitte, die in den Brennpunkten die Kreistangenten berühren. [br]Die dazu orthogonalen Kreise sind orthogonal zum absoluten Kreis und besitzen dieselben Winkelhalbierenden.[br]"Winkelhalbierende" sind vom absoluten Kreis aus definiert: 2 sich im Inneren schneidende Geraden besitzen [br]Schnittpunkte mit dem absoluten Kreis. Die Tangenten in diesen Punkten schneiden sich auf den Winkelhalbierenden.[/size]

[b]Fall I:[/b] 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte in Normalform: [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}, f\in \mathbb{R}[/math].[br][list][*][math]\mathbf{qu}\left(z,f,\lambda\right):=\mathbf{\mathit{H}}_\lambda\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)=\left(z\bar{z}\right)^2+x^2\cdot\frac{f^8-10f^4+1+12f^2(f^4+1)\cdot \lambda}{2f^2(f^4-6f^2\cdot\lambda+1)}+y^2\cdot\frac{f^4+12f^2\cdot\lambda+1}{3f^2}+1=0[/math][br][/*][/list]Bestimmt man aus dieser Gleichung die Scheitelpunkte [math](s,0)[/math], und setzt man die zugehörigen [math]\lambda=\lambda(s)[/math] [br]in die Gleichung ein, so erhält man die Gleichungen:[br][list][*][math]\mathbf{qu}_s\left(z,f,s\right):=\left(z\bar{z}\right)^2-x^2\cdot\frac{s^4+1}{s^2}-y^2\cdot\frac{(f^4+1)(s^4+1)-4f^2s^2}{(f^4+1)s^2-f^2(s^4+1)}+1=0[/math][br][/*][/list]aus denen man ersieht, dass die Scheitelwerte wie die Brennpunkte symmetrisch liegen: [math]s,-s,\frac{1}{s},-\frac{1}{s}, s\in \mathbb{R}[/math].[br][b]Fall II:[/b] 2 spiegelsymmetrisch liegende Brennpunktpaare nicht in Normalform, sondern um [math]\frac{\pi}{4}[/math] gedreht: [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}, \;f\in\mathbb{R}[/math]. [br]Spiegelachsen sind die beiden Koordinatenachsen.[br][list][*][math]\mathbf{qu}_i\left(z,f,\lambda\right):=\mathbf{\mathit{H}}_\lambda\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)=\left(z\bar{z}\right)^2+x^2\cdot\frac{f^8-10f^4+1+12f^2(f^4-1)\cdot \lambda}{2f^2(f^4-6f^2\cdot\lambda-1)}+y^2\cdot\frac{f^4+12f^2\cdot\lambda-1}{3f^2}-1=0[/math][br][/*][/list]Mit dem Scheitelwert [math]s,\; s > f,[/math] auf der [i]x[/i]-Achse, erhält man die Gleichung:[br][list][*][math]\mathbf{qu}_{is}\left(z,f,s\right):=\left(z\bar{z}\right)^2-x^2\cdot\frac{s^4-1}{s^2}-y^2\cdot\frac{(f^4-1)(s^4-1)+4f^2s^2}{(f^4-1)s^2-f^2(s^4-1)}-1=0[/math][br][/*][/list]Die Scheitel auf der [i]y[/i]-Achse liegen bei [math]\pm i\cdot\frac{\sqrt{s^2-f^2}}{\sqrt{f^2s^2+1}} [/math].[br]Die Rechnungen wären wohl per Hand etwas mühselig, mit einem guten CAS-Programm geht es blitzschnell. [br]Das liegt sicher daran, dass all diese Gleichungen iterierte quadratische Gleichungen sind.[br][b]Fall III[/b]: Brennpunkte in +1,-1, und den doppelten in [math]\infty[/math], die Gleichungen werden nicht überraschen:[br][list][*][math]\mathbf{qu}_{K}\left(z,\lambda\right):=x^2\cdot\frac{2\lambda-1}{2(\lambda+1)}+y^2\cdot\frac{2\lambda-1}{3}-1=0[/math]: konfokale Kegelschnitte.[br][/*][/list][b]Fall IV[/b]: Ein Brennpunkt in 0, und den drei-fachen in [math]\infty[/math]:[br][list][*][math]\mathbf{qu}_{P}\left(z,\lambda\right):=y^2-x\cdot\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{4\lambda^2}=0[/math]: konfokale Parabeln, symmetrisch zur [i]x[/i]-Achse.  [br][/*][/list][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]