Schnitte durch Würfel und andere Körper

Reinhard Schmidt, Mar 25, 2017

Würfelschnitte sind schon lange ein beliebtes Thema in der Mathematikdidaktik. Populär geworden sind sie in jüngerer Vergangenheit durch eine Abituraufgabe in NRW und ein paar Jahre später in den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife. Hierbei werden u.a. die Schnitte von einem Würfel mit Ebenen, die senkrecht zu einer Würfeldiagonalen verlaufen, betrachtet. Besonders interessant ist es dabei, die funktionale Abhängigkeit des Flächeninhalts oder des Umfangs der Schnittfläche vom Abstand der Ebene zum Eckpunkt A bei der "Wanderung" der Ebene längs der Raumdiagonale AG zu betrachten. Für den Flächeninhalt ergibt sich ein Graph, der stark an die Glockenkurve erinnert, in Wirklichkeit aber abschnittsweise aus quadratischen Funktionen besteht. Für den Umfang ergibt sich ein stetiger, stückweise linearer Graph. Diese Graphen alleine sind bereits hoch spannend. Noch interessanter aber wird es, wenn man sich bei den Betrachtungen (1) nicht auf die Diagonale beschränkt und auch andere Würfelschnitte untersucht und sich (2) nicht auf den Würfel beschränkt, sondern auch die Kugel und andere elementare Körper untersucht. Unter anderem zeigt sich, dass sich die Volumina der betrachteten Körper über die Fläche unter der entstandenen Ortskurve berechnen lassen. Der vorgeschlagene Zugang ermöglicht aber auch einen Perspektivwechsel: Kann ich durch die erzeugten Graphen gezielt die Graphen vorgegebener (quadratischer) Funktionen erzeugen?

Table of Contents

  1. Ins Thema hinein
    1. Schnitte durch den Würfel
  2. Würfelschnitte und Schnittflächengraphen
    1. Würfelschnitte 1
    2. Würfelschnitte 2
    3. Würfelschnitte 3
  3. Kugel und Kegel
    1. Kugelschnitte
    2. Kegelschnitte
  4. Perspektivwechsel
    1. Pyramide
    2. Ellipsoid
  5. Misc
    1. Augensumme

1.

Ins Thema hinein

  • 1. Schnitte durch den Würfel

1.1.

Schnitte durch den Würfel

Schnitte durch den Würfel
– Reinhard Schmidt

2.

Würfelschnitte und Schnittflächengraphen

  • 1. Würfelschnitte 1
  • 2. Würfelschnitte 2
  • 3. Würfelschnitte 3

2.1.

Würfelschnitte 1

Die Ebene wandert entlang einer Diagonalen durch den Würfel mit Kantenlänge 1. Es ergeben sich Dreiecke und Sechsecke als Schnittfiguren.
– Reinhard Schmidt

2.2.

–

2.3.

–

3.

Kugel und Kegel

  • 1. Kugelschnitte
  • 2. Kegelschnitte

3.1.

Kugelschnitte

– Reinhard Schmidt

3.2.

–

4.

Perspektivwechsel

  • 1. Pyramide
  • 2. Ellipsoid

4.1.

Pyramide

Eine Pyramide zu f(z) = 1 - z²
– Reinhard Schmidt

4.2.

–

5.

Misc

  • 1. Augensumme

5.1.

Augensumme

Augensumme
– Reinhard Schmidt

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