[b]exponentieel model:[br][/b]De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon.[br]Bij elke toontrap van een halve toon vermenigvuldigen we de frequentie met 2[sup](1/12)[/sup] .[br]We rekenen dus in een exponentieel verband met groeifactor 2[sup](1/12)[/sup].[br][table][tr][td][b]do[/b][/td][td]do#[/td][td]re[/td][td]re#[/td][td]mi[/td][td]fa[/td][td]fa#[/td][td][b]sol[/b][/td][td]sol#[/td][td]la[/td][td]la#[/td][td]si[/td][td][b]do[/b][/td][/tr][tr][td][b] [br] 1    [/b][/td][td][b]   2[/b][sup][b]1/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]2/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]3/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]4/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]5/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]6/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[sup]7/12[/sup][/b][/td][td][b]   2[/b][sup][b]8/12[/b][/sup][/td][td][b] [br] 2[/b][sup][b]9/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]10/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[/b][sup][b]11/12[/b][/sup][/td][td][b]   2[sup]12/12[br][/sup] = 2  [/b][/td][/tr][/table]Rekenen we met stappen van octaven, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 2.[br]n octaven hebben verhouding van [b]2[/b][sup][b]n[/b][/sup] ten opzichte van de grondtoon.[br][br]Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon.[br]Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor  3/2.[br]n kwinten hebben een verhouding [b](3/2)[sup]n[/sup][/b] ten opzichte van de grondtoon.[br]Elke wiskundige weet dat een macht van 3 altijd oneven is, en dus nooit gelijk zal zijn aan een macht van 2.[br]Een geheel aantal kwinten (verhouding 3/2) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal octaven (verhouding 2/1).

De verhouding tussen 12 kwinten en 7 octaven noemt men [b]het komma van Pythagoras[/b].[br][math]\frac{3^{12}}{2^{12}}:\frac{2^7}{1^7}=\frac{531441}{4096}:128=\frac{531441}{4096.128}=\frac{531441}{524288}=1.0136[/math][br][br]Met andere woorden: [b]12 reine kwinten = 1,0136 keer 7 reine octaven.[/b]

In ons toonsysteem is een do is een halve noot hoger dan een si. Een si# zou dus gelijk moeten zijn aan een do. Maar rekenend in kwinten komen we iets hoger uit dan rekenend in octaven.[br]Is dat nu een probleem: één kommaatje na 7 octaven? [br]Voor eenvoudige liedjes is dat inderdaad geen enkel probleem, maar wanneer je binnen één muziekstuk het tooncentrum wil verleggen (= moduleren), ja dan kom je echt wel in de problemen. Want, al kom je een si# nog niet zo snel tegen, een si# die verschilt van een do doet heel het systeem wankelen.[br]Want een la b is dan ook niet gelijk aan een sol#, een fa# niet aan een sol b enz.[br][br]Hoe het komt dat een la b niet gelijk is aan een sol# kunnen we illustreren door de kwintenrij uit te breiden:[br][b]Ab[/b]  -  Eb  -  Bb  -  F  -  [b]C[/b]  -  G  -  D  -  A  -  E  -  B  -  F#  -  C#  -  [b]G#[br]-4  [/b]      -3      -2     -1              1      2      3      4      5       6       7        [b]8[/b][br][br]De Ab vinden we 4 kwinten onder de C. Deze herleiden we vervolgens naar het basisoctaaf van de centrale C.[br]De verhouding van deze Ab en de grondtoon C = [b]1 : (3/2)[/b][sup][b]4[/b][/sup][b] . 2[/b][sup][b]3[/b][/sup][b] = [/b][b]1,5802[/b][br][br]De G# vinden we 8 kwinten boven de C. Deze herleiden we vervolgens naar het basisoctaaf van de centrale C.[br]De verhouding van deze G# en de grondtoon C = [b](3/2)[/b][sup][b]8[/b][/sup][b] : 2[/b][sup][b]4[/b][/sup][b] [/b][b]= [/b][b]1,6018[/b][br][br]De G# ligt dus iets hoger dan de Ab. Het verschil tussen beide tonen vinden we als de verhouding[br]1,6018 / 1,5802 = [b]1,01367[/b] en is dus gelijk aan het komma van Pythagoras (iets meer dan 1/9 van een hele toon).[br]Speel je b.v. muziek in de toonaarden Eb groot of c (do klein) dan moet je eigenlijk een Ab spelen.[br]Speel je in de toonaarden A of E dan moet je een G# spelen en dat wordt moeilijk wanneer op een klavier[br]voor de twee verschillende tonen slechts een toets voorzien wordt. Je hebt dan 3 mogelijkheden:[br][list][*]Ofwel maak je de keuze om slechts een van beide juist te stemmen.[/*][*]Ofwel kies je voor het midden van beide tonen en speel je ze allebei een beetje onzuiver.[/*][*]Ofwel bouw je een klavier met aparte toetsen voor de twee tonen.[/*][/list]

Zo beschreef Michael Praetorius in 1619 het zogenaamde 'cembalo universale' met opgesplitste toetsen en ook in historische beschrijvingen van kerkorgels is sprake van dergelijke klavieren.