[size=85]Ein [i][b]hyperbolisches [/b][/i]Kreisbüschel mit den Polen [b]p[sub]1[/sub][/b], [b]p[sub]2[/sub][/b] , ein [i][b]elliptisches[/b][/i] Büschel mit den Polen [b]p[sub]1[/sub][/b], [b]p[sub]3[/sub][/b] [br]und ein parabolisches Büschel mit [b]p[sub]3[/sub][/b] als Pol, dessen Kreise orthogonal zum Kreis [b]K[/b]([b]p[sub]1[/sub][/b],[b]p[sub]2[/sub][/b],[b]p[sub]3[/sub][/b]) sind.[br]Die in Kreise zerfallenden [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] sind zu erkennen.[br][br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]verbessert Jan. 2021[/b][/i][/color]).[/right][/size][/size]
[size=85]Fall ([b]IX[/b]) [color=#38761D][u][i]Begründung[/i][/u][/color]: In einer eukidischen Karte mit [math]p_3=\infty[/math], [math]p_1=1[/math] und [math]p_2=-1[/math] sind die Kurven [color=#0000ff][i][b]Niveaulinien[/b][/i][/color] der Funktionen:[br][list][*][math]\varphi_1\left(z\right)=\frac{x^2+y^2+1}{2x}[/math], [math]\varphi_2\left(z\right)=\frac{x-1}{y}[/math], [math]\varphi_3\left(z\right)=\frac{x+1}{y}[/math] und [math]\varphi_4\left(z\right)=x[/math][/*][/list]Die [b]CREMONA[/b]-Transformation ([math]\hookrightarrow[/math] [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cremona_group]wikipedia[/url])[br][list][*][math]u\left(z\right)=\frac{\left(x-1\right)^2+y^2}{y^2}[/math], [math]v\left(z\right)=\frac{\left(x+1\right)^2+y^2}{y^2}[/math][/*][/list]bildet die Kreisbüschel ab auf die vier Geradenbüschel[br][list][*][math]u=\varphi_2\,^2+1=const[/math], [math]v=\varphi_3\,^2+1=const[/math], [math]\frac{u}{v}=\frac{\varphi_1-1}{\varphi_1+1}=const[/math] und [math]\frac{u-1}{v-1}=\frac{\left(\varphi_4-1\right)^2}{\left(\varphi_4+1\right)^2}=const[/math].[/*][/list]Keines der 4 Büschel ist Diagonal-Schar der übrigen Büschel.[br][/size]