Abbildungsgeometrie

Georg Wengler, Sep 19, 2015

Abbildungen nach dem Erlanger Programm von Felix Klein

Table of Contents

  1. Kongruenzabbildungen
    1. Translation und Rotation
    2. Zwei Translationen
    3. Zwei Drehungen
    4. Achsenspiegelung
    5. Deckabbildungen
    6. Brückenschlag 1
    7. Brückenschlag 2
    8. Brückenschlag 3
    9. Brückenschlag 4
    10. Repetitionsmuster mit Sechseckmodul
    11. Repetitionsmuster mit Quadratmodul
    12. Sechseckvariation
    13. Symmetrie einer Schneeflocke
    14. Kaleidoskop
    15. Text spiegeln
    16. Magisches Quadrat spiegelsymmetrisch
    17. Doppelsymmetrisches Magisches Quadrat
    18. Kachelung aus einer Dreiecksverwandlung
    19. Kachelung mit einem Trapez
    20. Billard am gleichseitigen Dreieck
    21. Ambigramme
    22. Quadratkonstellation
    23. Würfel-Rotationen
    24. Rotierendes Dreieck
    25. Billard-Problem
    26. Zufällige Drehsymmetrie
    27. Billard im gleichseitigen Dreieck
  2. Ähnlichkeitsabbildungen
    1. Aufgabe 8: Zentrische Streckung
    2. Vergrößern und verkleinern
    3. Drehen und Strecken
    4. Spiegeln und Strecken
    5. Drehstreckung - Mustergenerator
    6. Aufgabe - Klappstreckung
    7. Lösung - Klappstreckung
    8. Aufgabe - Drehstreckung
    9. Lösung - Drehstreckung
    10. Storchenschnabel
    11. Vieleckspirale
    12. Verhältnistreue - Dreieck-Rechteck
    13. Selbstähnliche Trapezparkettierung
    14. Symmetrische Trapezparkettierung
    15. L-Parkett
    16. Flächenfüllende Hilbertkurve
    17. Plagiograph
    18. Fibonacci-Spirale
    19. Drehstreckung mit Translation
    20. Stern mit Drehstreckung - geometrische Reihe
    21. Ähnlichkeit zweier Quadrate 1
    22. Ähnlichkeit zweier Quadrate 2
    23. Ähnlichkeit
    24. Drehstreckung - Zwei Strecken
  3. Affinitäten
    1. Achsenaffinität
    2. Allgemeine Affinität
    3. Aufgabe - PG affin in QU
    4. Lösung - PG affin in QU
    5. Kreis affin in Ellipse
    6. Neunpunkte-Kegelschnitt
    7. Würfelprojektionen
    8. Affines Bild des Einheitskreises
    9. Doppelte Scherung
    10. Aufgabe: Rechtecke im Halbkreis
    11. Verknüpfung zweier Affinitäten
    12. Übergang DE-QU-Gitter
    13. Affinität mit Matrix ((1,1),(0,1))
  4. Projektivitäten
    1. Projektive Abbildung
    2. QU projektiv in Viereck
    3. Aufgabe - Viereck projektiv in QU
    4. Lösung - Viereck projektiv in QU
    5. Satz von Pascal
    6. Satz von Brianchon
    7. Permutationssatz
    8. Permutationssatz - dual
    9. Satz von Desargues
    10. Satz von Desargues - dual
    11. Kreis und Ellipse punktweise (ohne Zirkel)
    12. Hyperbolische Skala
    13. Perspektive
    14. Euler-Gerade als Ortslinie
    15. Perspektives Gitter
    16. Projektives Gitter
    17. Projektive Skala
    18. Kollinearität
    19. Schnittpunkt ausserhalb
    20. Projektivität der Kegelschnitte
    21. Perspektive
    22. Kegelschnitt-Tangenten per Kollinearität
    23. Perspektive
    24. Projektive Skala
    25. Projektives Gittersystem
    26. Perspektiv-Gitter
  5. Harmonische Teilung
    1. Harmonische Teilung 1
    2. Harmonische Teilung 2
    3. Harmonische Teilung 3
    4. Harmonische Teilung 4
    5. Harmonische Teilung 5
    6. Harmonische Teilung 6
    7. Harmonischer Punkt
    8. Hindernis überwinden
    9. Harmonischer Kegelschnitt im Dreieck 1
    10. Harmonischer Kegelschnitt im Dreieck 2
    11. Konstantes Doppelverhältnis bei Kreistangenten
  6. Inversion
    1. Kreisspiegelung
    2. Kreisinversion
    3. Räumliche Deutung der Kreisspiegelung
    4. Archimedische Zwillinge
    5. Graph am Kreis gespiegelt
    6. Steiner-Kreiskette mobil
    7. Steiner-Kreiskette
    8. Inversion - Vieleck
    9. Riemannsche Kugel und komplexe Zahl
    10. Kreis-, Kugelinversion
    11. Steiner Kugelkette
    12. Inversion - Apolloniusnetz
    13. Kegelschnitte per Kreisspiegelung
    14. Kegelschnitt invertieren
    15. Inversion Dreiecksgitter
    16. Inversion einer Kreisschar
    17. Inversion einer Kreisschar
    18. n-Pass
    19. Berührproblem mit 3 Kreisen
    20. Spiegelung am reg. Vieleck
    21. Kreisspiegelung - Inversion
    22. Polar-Reziprozität
  7. Sonstiges
    1. Kreistransformation
    2. Bilineare Abbildung
    3. Trilineare Abbildung
    4. Möbius-Transformation
    5. Möbius-Abbildung
    6. Quadrik
    7. Verschmelzung zweier Ähnlichkeiten
    8. Bipolares Vektorfeld
    9. Hexagonalgitter
    10. Stereografische Projektion 1
    11. Stereografische Projektion 2
    12. Friesgruppe auf Kugeloberfläche
    13. Stereografische Projektion - Funktion
    14. Zwei Ellipsen - ein Kreis
    15. Komplexe Abbildung z^n am Einheitskreis
    16. Rhombenparkettierung
    17. Polygraph
    18. Dynamische Parkettierung
    19. Dynamische Parkettierung
    20. Gittertransformation mit komplexer Funktion
    21. Flächenverwandlung: 12-Eck in Quadrat
    22. Stereografische Projektion eines Zylinderschnitts (Ellipse)
    23. Komplexe Funktion
    24. Reflexionen im Quadrat
    25. Bipolarkordinaten
    26. Komplexe Abbildung
    27. Dreieck - sphärisch -euklidisch- hyperbolisch
    28. Transformation (x,y) -> (u,v)
    29. Topologische Äquivalenz

1.

Kongruenzabbildungen

  • 1. Translation und Rotation
  • 2. Zwei Translationen
  • 3. Zwei Drehungen
  • 4. Achsenspiegelung
  • 5. Deckabbildungen
  • 6. Brückenschlag 1
  • 7. Brückenschlag 2
  • 8. Brückenschlag 3
  • 9. Brückenschlag 4
  • 10. Repetitionsmuster mit Sechseckmodul
  • 11. Repetitionsmuster mit Quadratmodul
  • 12. Sechseckvariation
  • 13. Symmetrie einer Schneeflocke
  • 14. Kaleidoskop
  • 15. Text spiegeln
  • 16. Magisches Quadrat spiegelsymmetrisch
  • 17. Doppelsymmetrisches Magisches Quadrat
  • 18. Kachelung aus einer Dreiecksverwandlung
  • 19. Kachelung mit einem Trapez
  • 20. Billard am gleichseitigen Dreieck
  • 21. Ambigramme
  • 22. Quadratkonstellation
  • 23. Würfel-Rotationen
  • 24. Rotierendes Dreieck
  • 25. Billard-Problem
  • 26. Zufällige Drehsymmetrie
  • 27. Billard im gleichseitigen Dreieck

1.1.

Translation und Rotation

Translation und Drehung eines Gitters.
– Georg Wengler

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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1.13.

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1.14.

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1.15.

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1.16.

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1.17.

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1.18.

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1.19.

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1.20.

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1.21.

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1.22.

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1.23.

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1.24.

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1.25.

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1.26.

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1.27.

–

2.

Ähnlichkeitsabbildungen

  • 1. Aufgabe 8: Zentrische Streckung
  • 2. Vergrößern und verkleinern
  • 3. Drehen und Strecken
  • 4. Spiegeln und Strecken
  • 5. Drehstreckung - Mustergenerator
  • 6. Aufgabe - Klappstreckung
  • 7. Lösung - Klappstreckung
  • 8. Aufgabe - Drehstreckung
  • 9. Lösung - Drehstreckung
  • 10. Storchenschnabel
  • 11. Vieleckspirale
  • 12. Verhältnistreue - Dreieck-Rechteck
  • 13. Selbstähnliche Trapezparkettierung
  • 14. Symmetrische Trapezparkettierung
  • 15. L-Parkett
  • 16. Flächenfüllende Hilbertkurve
  • 17. Plagiograph
  • 18. Fibonacci-Spirale
  • 19. Drehstreckung mit Translation
  • 20. Stern mit Drehstreckung - geometrische Reihe
  • 21. Ähnlichkeit zweier Quadrate 1
  • 22. Ähnlichkeit zweier Quadrate 2
  • 23. Ähnlichkeit
  • 24. Drehstreckung - Zwei Strecken

2.1.

Aufgabe 8: Zentrische Streckung

Erstelle die zentrische Streckung einer beliebigen Figur mit Zentrum Z [br]und dem Schieberegler f von 0 bis 2 (Schrittweite 0.01) als Streckfaktor. [br][u]Hinweis:[/u] [i]Wähle in der Werkzeugleiste das Werkzeug "[b]Strecke zentrisch von Punkt aus[/b]"[br]und gib dazu den (zu streckenden) Punkt, dann das Zentrum und den Streckungsfaktor an.[br][/i][br][br]
Mit der Navigationsleiste kannst du die einzelnen Konstruktionsschritte betrachten:
Erstelle hier selber eine zentrische Streckung mit beliebiger Figur:
– Georg Wengler

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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2.13.

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2.14.

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2.15.

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2.18.

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2.19.

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2.20.

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2.21.

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2.22.

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2.23.

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2.24.

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3.

Affinitäten

  • 1. Achsenaffinität
  • 2. Allgemeine Affinität
  • 3. Aufgabe - PG affin in QU
  • 4. Lösung - PG affin in QU
  • 5. Kreis affin in Ellipse
  • 6. Neunpunkte-Kegelschnitt
  • 7. Würfelprojektionen
  • 8. Affines Bild des Einheitskreises
  • 9. Doppelte Scherung
  • 10. Aufgabe: Rechtecke im Halbkreis
  • 11. Verknüpfung zweier Affinitäten
  • 12. Übergang DE-QU-Gitter
  • 13. Affinität mit Matrix ((1,1),(0,1))

3.1.

Achsenaffinität

Eine Achsenaffinität hat [br]- eine Affinitätsachse[br]- eine Affinitätsrichtung[br]- einen Affinitätsfaktor[br]Welche Sonderflälle ergebn sich, wenn[br]a) die Aff.richtung normal zur Aff.achse steht?[br]b) die Aff.richtung parallel zur Aff.achse steht?[br]c) der Aff.faktor k=1 bzw. k=-1 ist?
– Georg Wengler

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

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3.9.

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3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

4.

Projektivitäten

  • 1. Projektive Abbildung
  • 2. QU projektiv in Viereck
  • 3. Aufgabe - Viereck projektiv in QU
  • 4. Lösung - Viereck projektiv in QU
  • 5. Satz von Pascal
  • 6. Satz von Brianchon
  • 7. Permutationssatz
  • 8. Permutationssatz - dual
  • 9. Satz von Desargues
  • 10. Satz von Desargues - dual
  • 11. Kreis und Ellipse punktweise (ohne Zirkel)
  • 12. Hyperbolische Skala
  • 13. Perspektive
  • 14. Euler-Gerade als Ortslinie
  • 15. Perspektives Gitter
  • 16. Projektives Gitter
  • 17. Projektive Skala
  • 18. Kollinearität
  • 19. Schnittpunkt ausserhalb
  • 20. Projektivität der Kegelschnitte
  • 21. Perspektive
  • 22. Kegelschnitt-Tangenten per Kollinearität
  • 23. Perspektive
  • 24. Projektive Skala
  • 25. Projektives Gittersystem
  • 26. Perspektiv-Gitter

4.1.

Projektive Abbildung

Die projektive Abbildung besitzt ein Zentrum und eine Achse.[br]Auf der Achse schneiden einander die Trägergeraden.
– Georg Wengler

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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4.12.

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4.13.

–

4.14.

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4.15.

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4.16.

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4.17.

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4.18.

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4.19.

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4.20.

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4.21.

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4.22.

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4.23.

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4.24.

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4.25.

–

4.26.

–

5.

Harmonische Teilung

  • 1. Harmonische Teilung 1
  • 2. Harmonische Teilung 2
  • 3. Harmonische Teilung 3
  • 4. Harmonische Teilung 4
  • 5. Harmonische Teilung 5
  • 6. Harmonische Teilung 6
  • 7. Harmonischer Punkt
  • 8. Hindernis überwinden
  • 9. Harmonischer Kegelschnitt im Dreieck 1
  • 10. Harmonischer Kegelschnitt im Dreieck 2
  • 11. Konstantes Doppelverhältnis bei Kreistangenten

5.1.

Harmonische Teilung 1

Harmonische Teilung mit Ähnlichkeit.
– Georg Wengler

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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6.

Inversion

  • 1. Kreisspiegelung
  • 2. Kreisinversion
  • 3. Räumliche Deutung der Kreisspiegelung
  • 4. Archimedische Zwillinge
  • 5. Graph am Kreis gespiegelt
  • 6. Steiner-Kreiskette mobil
  • 7. Steiner-Kreiskette
  • 8. Inversion - Vieleck
  • 9. Riemannsche Kugel und komplexe Zahl
  • 10. Kreis-, Kugelinversion
  • 11. Steiner Kugelkette
  • 12. Inversion - Apolloniusnetz
  • 13. Kegelschnitte per Kreisspiegelung
  • 14. Kegelschnitt invertieren
  • 15. Inversion Dreiecksgitter
  • 16. Inversion einer Kreisschar
  • 17. Inversion einer Kreisschar
  • 18. n-Pass
  • 19. Berührproblem mit 3 Kreisen
  • 20. Spiegelung am reg. Vieleck
  • 21. Kreisspiegelung - Inversion
  • 22. Polar-Reziprozität

6.1.

Kreisspiegelung

Ein kartesisches Gitter wird an einem Kreis gespiegelt.
– Georg Wengler

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

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6.6.

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6.7.

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6.8.

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6.9.

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6.10.

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6.11.

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6.12.

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6.14.

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6.15.

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6.16.

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6.19.

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6.20.

–

6.21.

–

6.22.

–

7.

Sonstiges

  • 1. Kreistransformation
  • 2. Bilineare Abbildung
  • 3. Trilineare Abbildung
  • 4. Möbius-Transformation
  • 5. Möbius-Abbildung
  • 6. Quadrik
  • 7. Verschmelzung zweier Ähnlichkeiten
  • 8. Bipolares Vektorfeld
  • 9. Hexagonalgitter
  • 10. Stereografische Projektion 1
  • 11. Stereografische Projektion 2
  • 12. Friesgruppe auf Kugeloberfläche
  • 13. Stereografische Projektion - Funktion
  • 14. Zwei Ellipsen - ein Kreis
  • 15. Komplexe Abbildung z^n am Einheitskreis
  • 16. Rhombenparkettierung
  • 17. Polygraph
  • 18. Dynamische Parkettierung
  • 19. Dynamische Parkettierung
  • 20. Gittertransformation mit komplexer Funktion
  • 21. Flächenverwandlung: 12-Eck in Quadrat
  • 22. Stereografische Projektion eines Zylinderschnitts (Ellipse)
  • 23. Komplexe Funktion
  • 24. Reflexionen im Quadrat
  • 25. Bipolarkordinaten
  • 26. Komplexe Abbildung
  • 27. Dreieck - sphärisch -euklidisch- hyperbolisch
  • 28. Transformation (x,y) -> (u,v)
  • 29. Topologische Äquivalenz

7.1.

Kreistransformation

Der Kreis wird einer Transformation unterzogen.[br]P = (x,y) -> P' = (f_1(x(P)),f_2(y(P)))[br]Probiere folgende Trafos:[br]a) x(t) = t und y(t) = bel.[br]b) x(t) = bel. und y(t) = t[br]c) x(t) = y(t) = bel.
– Georg Wengler

7.2.

–

7.3.

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7.4.

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7.5.

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7.6.

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7.7.

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7.8.

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7.9.

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7.10.

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7.11.

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7.12.

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7.14.

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7.15.

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7.29.

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