Quadratische Funktionen – Parabeln
Untersuche, welche Auswirkungen die Parameter [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]e[/math] auf den Graph der Funktion [math]f(x)=a·(x-d)²+e[/math] haben.
Table of Contents
- Die Normalparabel
- Die Normalparabel
- Merksatz zur Normalparabel
- Verschieben der Normalparabel
- Der Graph der Funktion f(x)=x²+e
- Übungen zum verschieben der Normalparabel in y-Richtung
- Der Graph der Funktion f(x)=(x-d)²
- Übungen zum verschieben der Normalparabel
- Nullstellen von quadratischen Funktionen
- Was ist eine Nullstelle?
- Rechnerisches Bestimmen von Nullstellen
- Spiegeln, Strecken und Stauchen der Normalparabel
- Der Graph der Funktion f(x)=a·x²
- Übungen zum Strecken und Stauchen der Normalparabel
- Spiegeln der Parabel an der x-Achse
- Zusammengefasster Merksatz fürs Regelheft
- Übungen zum Bestimmen der Parameter a, d und e
- Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
- Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
- Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
- Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
- Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
- Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
- Funktionsterm aufstellen
- Wasserstrahl modellieren
Die Normalparabel
Im Diagramm ist der Graph der Funktion [math]f(x)=x^2[/math] eingezeichnet. Dieser Spezielle Graph heißt Normalparabel.[br][br]Beschreibe die Normalparabel möglichst genau und beantworte danach die Fragen unten!
Symmetrie
Welche Aussage lässt sich über die Symmetrie der Normalparabel machen?
Tiefster Punkt
Wo befindet sich der tiefste Punkt der Normalparabel?
quadratisches Wachstum
Welche Aussagen sind wahr?
Fallen und Steigen
Welche Aussage ist wahr? [img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg/242px-Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg.png[/img][br]
Der Graph der Funktion f(x)=x²+e
Im Diagramm unten ist die der Graph der Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=x^2+e[/math] dargestellt. Verändere den Wert des Parameters e indem du den Schieberegler verwendest.[br][br]Wie verändert sich der Graph von [math]f[/math], wenn [math]e[/math] sich verändert?
Formuliere einen Merksatz im Regelheft und ergänze den Merksatz um eine Skizze![br][br]Du kannst dich am Untenstehenden Lückentext orientieren.
Merksatz: Verschieben der Normalparabel
Der Graph der quadratischen Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=x^2+e[/math] (mit [math]e\in\mathbb{R}[/math]) entsteht aus der Normalparabel durch … .[br][list][*]Wenn e>0 ist … .[/*][*]Wenn e<0 ist … .[/*][/list]Der Graph von [math]f[/math] ist kongruent zur Normalparabel, die Symmetrieachse ist … . [br][br]Scheitelpunkt des Graphen ist [math]S\left(\underscore\mid\underscore\right)[/math].
Was ist eine Nullstelle?
Verschiebe die Parabel im Schaubild unten, indem du den Parameter [math]e[/math] mit dem Schieberegler veränderst.[br]Beobachte, an welchen Punkten der Graph die [math]x[/math]-Achse schneidet!
Übernimm die folgende Definition in dein Merkheft.
Definition: Nullstelle
Eine Stelle [math]x[/math], an der eine Funktion [math]f[/math] den Wert Null annimmt, heißt Nullstelle der Funktion:[br]Für eine Nullstelle [math]x[/math] gilt: [math]f(x)=0[/math].[br]An einer Nullstelle schneidet der Graph der Funktion die [math]x[/math]-Achse (oder berührt sie).
Anzahl der Nullstellen
Betrachte nochmal das Schaubild oben. Notiere dir, für welche Werte von [math]e[/math] es bei der Funktion [math]f(x)=x^2+e[/math] keine, eine oder zwei Nullstellen gibt.
Der Graph der Funktion f(x)=a·x²
Bestimme die Wirkung des Parameters [math]a[/math] auf den Graphen der Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=a·x^2[/math].
Formuliere hierzu einen Merksatz und fertige dazu eine Skizze an.[br]Beschreibe auch welchen unterschied es macht, ob [math]a[/math] größer oder kleiner als 1 ist.[br][br]Du kannst dich am unten stehenden Text orientieren, oder auf Seite 93/94 im Buch nachlesen.
Merksatz: Strecken der Parabel
Die Multiplikation einer Funktion mit den Faktor __ (für __ [math]\ne0[/math]) entspricht dem Strecken des Graphen parallel zur [math]y[/math]-Achse.[br][br]Dabei wird die [math]y[/math]-Koordinate … .[br]Die [math]x[/math]-Koordinate bleibt unverändert.[br][br]Der Parameter [math]a[/math] heißt ______________.
Verschieben, Strecken und Stauchen von Parabeln
In unserer Umwelt begegnen uns an vielen Stellen Parabeln. Die wenigsten lassen allein sich durch die Funktionsvorschrift [math]f(x)=x^2[/math] beschreiben. Versuche die Funktion [math]f(x)[/math] in den folgenden Beispielen so anzupassen, dass sie der Parabel auf dem Foto möglichst genau entspricht.[br][br]Notiere jeweils die gefundene Funktionsvorschrift in dein Heft.
Viele Antennen und Teleskope, wie diese Radar-Antenne in Grönland, enthalten sogenannte Parabolspiegel. [br](Quelle: [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cassegrain_antenna.jpg]L. Chang, Wikimedia Commons[/url])