ABC est un triangle de côtés BC = [i]a[/i], CA = [i]b[/i], AB = [i]c[/i] et de périmètre 2[i]p = a + b + c[/i].[br][br]Soit [math]I_2[/math] le centre du cercle exinscrit dans l'angle ABC du triangle et [math]r_2[/math] son rayon.[br]L'aire du triangle ABC est décomposable avec trois aires :[br]la somme des aires des triangles [math]I_2AB[/math], et [math]I_2CA[/math] moins l'aire de [math]I_2BC[/math],[br]triangles de sommet [math]I_2[/math] et de hauteurs [math]I_2C_2[/math], [math]I_2A_2[/math], [math]I_2B_2[/math] de même longueur [math]r_2[/math].[br][math]S=A(I_21CA)+A(I_2AB)-A(I_2BC).[/math][br][br]L'aire du triangle ABC est donc[br][math]S=\frac{br_2}{2}+\frac{cr_2}{2}-\frac{ar_2}{2}=\frac{b+c-a}{2}×r_2=(p-a)×r_2.[/math][br][br]Donc S =[math](p-a)r_1[/math].

On trouverait de même pour les deux autres cercles exinscrits :[br]S = [math](p-b)r_1[/math] pour le cercle de rayon [math]r_1[/math] exinscrit dans l'angle B,[br]S = [math](p-c)r_3[/math] pour le cercle de rayon [math]r_3[/math] exinscrit dans l'angle C.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/s6EdZ9Ca]Cercle inscrit[/url][br]Duplication de cette figure : [url=https://www.geogebra.org/m/tGpXmBbw]Cercles inscrit et exinscrit d'un triangle[/url][br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/relation_metrique.html#c_inscit]relations métriques dans le triangle[/url]