Lernpfad: Trigonometrische Funktionen
In diesem Lernpfad lernst du eine weitere Kategorie von Funktionen kennen: Trigonometrische Funktionen Dazu gehören Sinus, Cosinus und Tangens Du wirst die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck und anschließend mithilfe des Einheitskreises wiederholen, das Bogenmaß kennenlernen, herausfinden, wie die Graphen der Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens aussehen, mit der Veränderung der Funktionsgraphen experimentieren, die Begriffe, Periodenlänge und Amplitude kennenlernen und dich mit einigen Anwendungen auseinandersetzen Deinen Lernweg in Form von Notizen und Übungen hältst du in deinem Lerntagebuch fest. Die Gestaltung bleibt dir überlassen. Das Lerntagebuch soll deinen individuellen Lernprozess abbilden. Es muss nicht fehlerfrei sein. Allerdings soll gut zu erkennen sein, dass du dich intensiv mit dem Kapitel trigonometrische Funktionen und den gegebenen Aufgaben auseinandergesetzt hast. Dein Lerntagebuch wird beurteilt und bildet einen großen Teil deiner Mitarbeitsnote. [b]ABGABETERMIN: 7.3.2017[/b] Viel Spaß beim Erarbeiten, Verstehen und Üben.
Table of Contents
- Wiederholungen
- Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken
- Quiz zu Trigonometrie
- Der Einheitskreis
- Übungen zum Einheitskreis
- Das Bogenmaß
- Bogenmaß kennenlernen
- Bogenmaß und Gradmaß umrechnen
- Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion
- Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens
- Die Winkelfunktionen
- Periodizität
- Allgemeine Sinus- und Cosinusfunktion der Form f(x)=a*sin(b*(x+c))
- Beispiele
- Einfluss der Parameter a und b
- Übungen zu den Parametern a und b
- Zusammenhang zwischen Cosinus und Sinus
- Harmonische Schwingung
- Wichtige Begriffe
- Grafische Darstellung harmonischer Schwingungen
- Informationen aus Funktionsgleichungen lesen
Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken
Aufgaben:
[list][*]Wiederhole die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken anhand folgender Links [br][b][u][url=http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/sinuseinf.html]EINFÜHRUNG: SINUS [/url][/u][/b][br][b][u][url=http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/kosinuseinf.html]EINFÜHRUNG: COSINUS [/url][br][url=http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/tangenseinf.html]EINFÜHRUNG: TANGENS[/url][/u][/b][br]Mache dir Notizen mit Skizzen in dein Lerntagebuch.[br][br][/*][*]Erreiche jeweils 100 Punkte bei folgenden Übungen:[br][b][u][url=http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html]QUOTIENTEN[/url][br][url=http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html]SIN, COS, TAN[/url][/u][/b][/*][/list]
Bogenmaß kennenlernen
Aufgabe
Schau dir das folgende Video zum Bogenmaß an und mache dir Notizen und Skizzen in dein Lerntagebuch.
Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens
Information
In rechtwinkeligen Dreiecken konnten wir Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel zwischen 0° und 90° definieren. Mithilfe des Einheiltskreises haben wir eine Möglichkeit bekommen, Sinus, Cosinus und Tangens für alle Winkel von 0° bis 360° zu berechnen.[br][br]Es ist nun naheliegend, die Winkelfunktionen - wenn möglich - auf die ganze Menge [math]\mathbb{R}[/math] zu erweitern.[br][br]Was versteht man aber unter einem Winkel [math]\alpha[/math]=400° oder [math]\beta[/math]=-45°?[br][br]Die Bewegung des Punktes entlang des Einheiskreises kann man mit einem Winkel beschreiben. Bei 400° durchläuft der Punkt gegen den Uhrzeigersinn einmal komplett die Kreislinie und bewegt sich anschließend um 40° weiter. Es gilt also sin(400°)=sin(40°). [br][br]Bei -45° bewegt sich der Punkt um 45° im Uhrzeigersinn. Es gilt also sin(-45°)=sin(315°) Man kann dieses Prinzip natürlich auch auf Winkel im Bogenmaß anwenden
Mit diesem Applet kannst du kontrollieren, ob du die Inhalte richtig verstanden hast.
Aufgaben
[list][*]Übertrage die Zusammenhänge im gelben Kästchen in dein Lerntagebuch.[/*][*]Stelle deinen Taschenrechner auf das Bogenmaß um, indem du die Taste DRG drückst und RAD (für radiant) wählst.[br][/*][*]Berechne [math]sin\left(\frac{\pi}{2}\right)[/math], [math]sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)[/math], [math]sin\left(\frac{9\pi}{2}\right)[/math] und [math]sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)[/math]. Vergleiche die Ergebnisse und erkläre diese anhand einer Skizze.[br][/*][*]Berechne [math]cos\left(\frac{\pi}{3}\right)[/math], [math]cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)[/math] und [math]cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)[/math]. Vergleiche die Ergebnisse und erkläre diese anhand einer Skizze.[br][/*][/list]
Beispiele
In diesem Kapitel untersuchst du, wie sich der Graph der Sinus- und Cosinusfunktion ändert, wenn die Funktionsgleichung durch Parameter erweitert wird.[br]
AUFGABE:
[list][*]Zeichne die Graphen der Funktionen f, g, h und i in dasselbe Koordinatensystem[/*][*][math]f(x)=sin(x)[/math][br][math]g(x)=2\cdot sin\left(x\right)[/math][br][math]h(x)=sin(2\cdot x)[/math][br][math]i(x)=-sin(x)[/math][/*][*]Erkläre, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktionen von f, g, h und i erkennbar sind.[/*][*]Wie oft schwingt der Graph von g, h und i im Intervall [math]\left[0;2\pi\right][/math]?[/*][/list]
Wichtige Begriffe
Faszinierender Weise eignen sich die Winkelfunktionen, die ursprünglich aus rein geometrischen Überlegungen entstanden sind, hervorragend für die Erfassung vieler periodischer Vorgänge in der Natur und Mechanik. Dazu zählen vor allem Schwingungen und Wellen.[br]Der sogenannte [url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/91/Sin440HZ.ogg]Sinustons[/url] bildet die Basis für alle Klänge. Der charakteristische Klang eines Musikinstruments entsteht als Summe unterschiedlicher Sinustöne (Grundton, Obertöne).[br]
Aufgabe
Recherchiere folgende Begriffe. Notiere dir ihre Bedeutung und ihre üblichen Einheiten in dein Lerntagebuch. Fertige eine Skizze an, falls dies sinnvoll ist.[br][list][*]Federpendel[/*][*]Harmonische Schwingung[/*][*]Elongation eines Federpendels[/*][*]Amplitude (A)[br][/*][*]Schwingungsdauer/Periodendauer (T)[br][/*][*]Frequenz (f)[br][/*][*]Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer und Frequenz[/*][/list]Kontrolliere, ob du alle Inhalte gut verstanden hast, indem du die [u][b][url=http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/wechselstrom/test-periodendauer-frequenz.php]Testfragen zu Periodendauer und Frequenz[/url][/b][/u] sowie die [u][b][url=http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/wechselstrom/test-periodendauer-frequenz-aufgaben.php]Übungsaufgaben[/url][/b][/u] machst.