El problema era calcular la siguiente suma: [math]\displaystyle 1 + \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2} + \cdots [/math][br][br]O escrito en lenguaje actual, la suma de la serie: [math]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/math][br][br]Euler introdujo la siguiente serie polinómica:[br][br][math]\displaystyle P(x)= 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \frac{x^8}{9!} - \cdots [/math][br][br]que trató como un polinomio infinito. Y se dedicó a estudiar sus propiedades:[br][br][list][br][*][math]P(0)=1[/math][br][*][math]\displaystyle P(x)= x \left( \frac{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \frac{x^8}{9!} - \cdots}{x} \right) = \frac{x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots}{x}[/math][br][/list][br][br]En este punto Euler expresó el seno como una serie [math] \displaystyle sen(x)= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}[/math], y por tanto [math]P(x)= \frac{sen(x)}{x}[/math][br][br]A continuación, estudió los ceros no triviales de P(x), que son los ceros de sen(x), es decir, [math] x=\pm k \pi [/math] para [math] k=1,2,3 [/math]. Hay que tener en cuenta que [math]P(0)=1[/math].[br][br]Conocidas sus raíces Euler pensó en factorizar P(x), como [math]x= \pm k \pi[/math] expresó los factores como [math] 1-\frac{x}{\pm k \pi} [/math], de esta forma:[br][br][math] \displaystyle P(x)= 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \frac{x^8}{9!} - \cdots =[/math][br][br][br][math]\displaystyle \left( 1- \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1- \frac{x}{- \pi} \right) \cdot \left( 1- \frac{x}{2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \frac{x}{-2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \frac{x}{3 \pi} \right) \cdot \left( 1- \frac{x}{-3 \pi} \right) =[/math][br][br][br][math] \displaystyle \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} \right) \cdot \left( 1-\frac{x^2}{4 \pi^2} \right) \cdot \left( 1-\frac{x^2}{9 \pi^2} \right) \cdots[/math][br][br][br]Euler se encontró con dos expresiones para P(x)[br][br][br]Operó la segunda forma y obtuvo:[br][br][br][math]\displaystyle 1-\left( \frac{1}{\pi^2} +\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2} \right) x^2 + \cdots [/math][br][br][br]Euler igualó los coeficientes de [math]x^2[/math], obteniendo que:[br][br][br][math]\displaystyle -\frac{1}{3!}= -\left( \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2} \right) =-\frac{1}{\pi^2} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots \right)=-\frac{1}{\pi^2} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/math][br][br][br]Y por tanto,[br][br][br][math]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}[/math][br][br][br]Notas[br][br][list][br][*]Técnicamente presenta algunos errores. Factorizar [math]\displaystyle \frac{sen(x)}{x}[/math] por sus raíces no garantiza que el resultado sea correcto, pues por ejemplo [math]\displaystyle e^x \frac{sen(x)}{x} [/math] tiene las mismas raíces y obviamente son expresiones distintas.[br][*]Euler también da por supuesto la convergencia de ciertas series infinitas necesarias para su demostración.[br][/list]