1ºESO. Polígonos y Circunferencias.
1. Polígonos
1. Somos artistas con... polígonos y circunferencias
2. Polígonos y sus elementos
3. Polígonos y circunferencias. Problemas de enunciado
4. Tipos de ángulos y posiciones relativas
5. Medimos ángulos mediante comparaciones
6. Polígonos en un geoplano, fijados los vértices (hasta 7 vértices)
7. Ángulos y polígonos en las alas de una libélula
2. Triángulos
1. Jugamos con la clasificación de los triángulos
2. ¿Existe ese triángulo?
3. Elementos notables del triángulo
4. Punto de equilibrio de un triángulo
5. ¿Quién está más cerca?
6. Colocando una jardinera
7. ¿Hacia dónde lanzamos el balón?
8. Elementos del Triángulo
9. Objetos notables asociados a un triángulo
10. Puntos notables. Fichas y ejercicios
11. Construcción de la mediatriz
3. Cuadriláteros
1. Jugamos con la clasificación de los Cuadriláteros
2. Cuadriláteros en un Geoplano
3. Cuadriláteros en un Geoplano Circular
4. Construyendo polígonos. Paralelogramos
5. Construyendo polígonos. Trapecios
4. Circunferencias
1. Elementos de la Circunferencia y del Círculo
2. Posiciones relativas respecto una circunferencia
3. Ángulos en la circunferencia
4. Cálculo de ángulos en la circunferencia
5. Muestra tu arte
1. Polígonos, estrellas e hilogramas
2. Hilograma hexagonal 3D
3. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
4. Teselación basada en el Teorema de Napoleón
5. Método de la malla invisible (cuadriláteros)
6. Arte con circunferencias tangentes y secantes
7. Curvas, rectas y hexágonos
8. Polígonos imposibles
9. Polígonos engarzados
10. Miura Folding (plegado de Miura)
11. ¿Cubos o rombos? Ilusión óptica
12. Estrella isométrica
13. Mosaico romano de Medusa. Huerta de Otero (Mérida)
6. Ampliación
1. Tallas que utilizan elementos geométricos. Iglesia de Agudo
2. Ilusión óptica. Polígonos y circunferencias
3. Ilusión Óptica 3D. Polígonos y circunferencias
4. Trazado de curvas tangentes
5. Arte gótico con circunferencias tangentes
6. Teselados Regulares
7. ¿Cómo funciona una cerradura?
8. Espirales, iris y girasoles
9. Polígonos regulares y flores
10. Ilusión óptica. Cuadrados curvos
11. Modelado Geométrico
12. Mecanismo de Peaucellier-Lipkin
13. Hipocicloides, epicicloides y trocoides
14. Diseño de un Arco Carpanel de Tres Centros
15. Porisma de Poncelet. Polígonos bicéntricos; con circuncentro e incentro

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1ºESO. Polígonos y Circunferencias.

Javier Cayetano Rodríguez, Nov 19, 2014

REA sobre polígonos, triángulos, cuadriláteros y circunferencias. Pensado para alumnos a partir de 12 años.

Polígonos
1. Somos artistas con... polígonos y circunferencias
2. Polígonos y sus elementos
3. Polígonos y circunferencias. Problemas de enunciado
4. Tipos de ángulos y posiciones relativas
5. Medimos ángulos mediante comparaciones
6. Polígonos en un geoplano, fijados los vértices (hasta 7 vértices)
7. Ángulos y polígonos en las alas de una libélula
Triángulos
1. Jugamos con la clasificación de los triángulos
2. ¿Existe ese triángulo?
3. Elementos notables del triángulo
4. Punto de equilibrio de un triángulo
5. ¿Quién está más cerca?
6. Colocando una jardinera
7. ¿Hacia dónde lanzamos el balón?
8. Elementos del Triángulo
9. Objetos notables asociados a un triángulo
10. Puntos notables. Fichas y ejercicios
11. Construcción de la mediatriz
Cuadriláteros
1. Jugamos con la clasificación de los Cuadriláteros
2. Cuadriláteros en un Geoplano
3. Cuadriláteros en un Geoplano Circular
4. Construyendo polígonos. Paralelogramos
5. Construyendo polígonos. Trapecios
Circunferencias
1. Elementos de la Circunferencia y del Círculo
2. Posiciones relativas respecto una circunferencia
3. Ángulos en la circunferencia
4. Cálculo de ángulos en la circunferencia
Muestra tu arte
1. Polígonos, estrellas e hilogramas
2. Hilograma hexagonal 3D
3. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
4. Teselación basada en el Teorema de Napoleón
5. Método de la malla invisible (cuadriláteros)
6. Arte con circunferencias tangentes y secantes
7. Curvas, rectas y hexágonos
8. Polígonos imposibles
9. Polígonos engarzados
10. Miura Folding (plegado de Miura)
11. ¿Cubos o rombos? Ilusión óptica
12. Estrella isométrica
13. Mosaico romano de Medusa. Huerta de Otero (Mérida)
Ampliación
1. Tallas que utilizan elementos geométricos. Iglesia de Agudo
2. Ilusión óptica. Polígonos y circunferencias
3. Ilusión Óptica 3D. Polígonos y circunferencias
4. Trazado de curvas tangentes
5. Arte gótico con circunferencias tangentes
6. Teselados Regulares
7. ¿Cómo funciona una cerradura?
8. Espirales, iris y girasoles
9. Polígonos regulares y flores
10. Ilusión óptica. Cuadrados curvos
11. Modelado Geométrico
12. Mecanismo de Peaucellier-Lipkin
13. Hipocicloides, epicicloides y trocoides
14. Diseño de un Arco Carpanel de Tres Centros
15. Porisma de Poncelet. Polígonos bicéntricos; con circuncentro e incentro

Information

Polígonos

1. Somos artistas con... polígonos y circunferencias
2. Polígonos y sus elementos
3. Polígonos y circunferencias. Problemas de enunciado
4. Tipos de ángulos y posiciones relativas
5. Medimos ángulos mediante comparaciones
6. Polígonos en un geoplano, fijados los vértices (hasta 7 vértices)
7. Ángulos y polígonos en las alas de una libélula

Somos artistas con... polígonos y circunferencias

¿Te gustan estos diseños? Son parte de las propuestas artísticas que encontrarás en nuestra unidad didáctica sobre Polígonos y Circunferencias, para alumnos a partir de 12 años. Echa un vistazo a las actividades que hemos preparado para tí. Aprenderemos sobre polígonos, triángulos, cuadriláteros, circunferencias y cómo utilizarlos para hacer creaciones tan bonitas como estas. A lo largo de la unidad, conforme vayamos adquiriendo los conocimientos necesarios, iremos proponiendo y explicando cómo crear cada una de ellas y algunas más. ¡Vamos allá!

– Javier Cayetano Rodríguez

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2.

Triángulos

1. Jugamos con la clasificación de los triángulos
2. ¿Existe ese triángulo?
3. Elementos notables del triángulo
4. Punto de equilibrio de un triángulo
5. ¿Quién está más cerca?
6. Colocando una jardinera
7. ¿Hacia dónde lanzamos el balón?
8. Elementos del Triángulo
9. Objetos notables asociados a un triángulo
10. Puntos notables. Fichas y ejercicios
11. Construcción de la mediatriz

2.1.

Jugamos con la clasificación de los triángulos

Instrucciones

Teoría:

Mueve los puntos de colores para modificar los triángulos.
Haciendo clic en cada triángulo, haremos que gire solo, o se detenga.
Marcando la casilla "con ángulos", verás el valor de los ángulos de cada triángulo. ¿Te has fijado? Sus ángulos siempre suman 180º.

Juego Nuestros amigos están pintando cuadros con figuras geométricas. Nos irán diciendo qué figuras necesitan.

Moviendo el gancho, podemos ir atrapándolas.
Solo hay una figura correcta. Si no lo ves claro (dudas entre dos que se parecen), puedes pulsar el botón Hacer otro.
Haciendo clic en el gancho, o en el botón de la parte inferior, haremos que intente atrapar alguna de las figuras.
Cada figura correcta vale 1 punto, pero cada fallo nos penalizará 1 punto.
Podemos intentar tantas figuras como queramos. Siempre se conservará la puntuación más alta alcanzada.
La puntuación máxima es 10 puntos. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde. (*) Desactiva la casilla "ver fondo" si quieres mostrarlo a tu profesor/a, o vuelve a la pantalla inicial.

Dedicado a mi hija Alicia, que me ha ayudado mucho con el diseño del juego y me ha dado muy buenos consejos en la parte teórica. (*) Ilustraciones del programa CREA.

– Javier Cayetano Rodríguez

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Cuadriláteros

1. Jugamos con la clasificación de los Cuadriláteros
2. Cuadriláteros en un Geoplano
3. Cuadriláteros en un Geoplano Circular
4. Construyendo polígonos. Paralelogramos
5. Construyendo polígonos. Trapecios

3.1.

Jugamos con la clasificación de los Cuadriláteros

Instrucciones

Teoría:

Mueve los puntos de colores para modificar los cuadriláteros.
Haciendo clic en cada figura, haremos que gire sola, o se detenga.
Marcando la casilla "ver ángulos", verás el valor de los ángulos de cada cuadrilátero. Observa estas propiedades:
Los ángulos de un cuadrilátero siempre suman 360º, incluso en el caso de la flecha, que es un polígono cóncavo. Por eso, en el caso de los rectángulos, como los ángulos son iguales, los cuatro deben ser rectos. Además, eso implica que los lados serán paralelos e iguales dos a dos.
Comprueba que en los paralelogramos, los ángulos opuestos son iguales y los contiguos suplementarios. Encuentra alguna relación similar para los trapecios rectángulos e isósceles, la cometa y la flecha.
Marcando la casilla "ver diagonales", veremos sus diagonales. Comprueba estas propiedades: ¿Para qué tipo de cuadriláteros sus diagonales son siempre perpendiculares? Fíjate en que las diagonales de los paralelogramos siempre se cortan en el punto medio.

Juego Nuestros amigos están pintando cuadros con figuras geométricas. Nos irán diciendo qué figuras necesitan.

Moviendo el gancho, podemos ir atrapándolas.
Solo hay una figura correcta. Si no lo ves claro (dudas entre dos que se parecen), puedes pulsar el botón Hacer otro.
Haciendo clic en el gancho, o en el botón de la parte inferior, haremos que intente atrapar alguna de las figuras.
Cada figura correcta vale 1 punto, pero cada fallo nos penalizará 1 punto.
Podemos intentar tantas figuras como queramos. Siempre se conservará la puntuación más alta alcanzada.
La puntuación máxima es 10 puntos. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde. (*) Desactiva la casilla "ver fondo" si quieres mostrarlo a tu profesor/a, o vuelve a la pantalla inicial.

– Javier Cayetano Rodríguez

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4.

Circunferencias

1. Elementos de la Circunferencia y del Círculo
2. Posiciones relativas respecto una circunferencia
3. Ángulos en la circunferencia
4. Cálculo de ángulos en la circunferencia

4.1.

Elementos de la Circunferencia y del Círculo

Instrucciones

Pulsando en "¡A jugar!" podemos resolver ejercicios para comprobar si hemos aprendido correctamente el vocabulario.

Cada ejercicio correcto vale 0,75 puntos, pero los fallos penalizan 1 punto.
Podemos intentar tantas fichas como queramos. Se conservará la puntuación más alta. Además, podremos visualizar el número de fichas realizadas y el número de fichas correctas.

Teoría

Pulsando en "Circunferencia" o "Círculo", veremos cuáles son sus elementos más importantes.
Moviendo los puntos azules, modificaremos la posición de los diferentes elementos.
Podemos mostrar u ocultar su dibujo activando la casilla correspondiente.
Igualmente, podemos mostrar las descripciones y modificar la posición de cada elemento.

– Javier Cayetano Rodríguez

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5.

Muestra tu arte

1. Polígonos, estrellas e hilogramas
2. Hilograma hexagonal 3D
3. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
4. Teselación basada en el Teorema de Napoleón
5. Método de la malla invisible (cuadriláteros)
6. Arte con circunferencias tangentes y secantes
7. Curvas, rectas y hexágonos
8. Polígonos imposibles
9. Polígonos engarzados
10. Miura Folding (plegado de Miura)
11. ¿Cubos o rombos? Ilusión óptica
12. Estrella isométrica
13. Mosaico romano de Medusa. Huerta de Otero (Mérida)

5.1.

Polígonos, estrellas e hilogramas

El punto azul central nos permite modificar la altura del hilograma (vista 3D). Arrastra el dibujo con el botón derecho del ratón para girar la vista 3D. Mueve el punto amarillo para elegir qué zona ocupará el hilograma. En las estrellas, usa el punto naranja para hacerla más o menos pronunciada.

¿Creamos el nuestro?

Podemos utilizar hilos o bien ir dibujando líneas. Recuerda que, aunque no lo parezca, todos los segmentos son rectos.
Si hay demasiados, podemos unir menos elementos; por ejemplo unir solamente lados con lados.
También podemos poner menos hilos, aunque el efecto "curvo" que van haciendo se notará menos.
Para sacar una plantilla, marcamos ver los Puntos y desmarcamos las opciones de Unir.
Con el botón "Copiar", hacemos una captura de pantalla y la imprimimos (por ejemplo pegándola primero en un procesador de textos).

– Javier Cayetano Rodríguez

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Ampliación

1. Tallas que utilizan elementos geométricos. Iglesia de Agudo
2. Ilusión óptica. Polígonos y circunferencias
3. Ilusión Óptica 3D. Polígonos y circunferencias
4. Trazado de curvas tangentes
5. Arte gótico con circunferencias tangentes
6. Teselados Regulares
7. ¿Cómo funciona una cerradura?
8. Espirales, iris y girasoles
9. Polígonos regulares y flores
10. Ilusión óptica. Cuadrados curvos
11. Modelado Geométrico
12. Mecanismo de Peaucellier-Lipkin
13. Hipocicloides, epicicloides y trocoides
14. Diseño de un Arco Carpanel de Tres Centros
15. Porisma de Poncelet. Polígonos bicéntricos; con circuncentro e incentro

6.1.

Tallas que utilizan elementos geométricos. Iglesia de Agudo

Es frecuente adornar las puertas de las iglesias con ornamentos decorativos, denominados tallas o relieves. En muchas ocasiones se utiliza la geometría para dar un significado simbólico que se remonta a la antigüedad y se encuentra presente en muchas culturas y tradiciones religiosas en todo el mundo. Por ejemplo,

la circunferencia/círculo suele representar la perfección, la unidad divina o la eternidad, pues no tiene principio ni fin.
El rombo se asocia con el equilibrio, al tener los lados iguales, y también con la unión de los opuestos, pues sus ángulos opuestos son iguales. En ocasiones se usa para evocar a los cuatro evangelistas (a veces en los tetramorfos) simbolizando la unidad y la complementariedad de los evangelios, aunque suele ser para rombos en forma de almendra; concretamente, obtenidos de una mandorla.
Si además es un cuadrado, sus ángulos rectos aportan solidez y sensación de orden.
El octógono se asocia con la resurrección de Cristo y la renovación espiritual, pues la resurrección ocurrió al amanecer del octavo día, simbolizando la esperanza cristiana y la eternidad después de la muerte. También se interpreta como el día después del sábado: los siete días de la creación hasta el sábado, más el octavo día, simbolizando así la eternidad. El siete simboliza la perfección y la creación, y el ocho la superación de los límites y la transición a un nuevo estado.
En el caso particular de las estrellas (o polígonos estrellados), la de ocho puntas, denominada octanario o estrella de Salomón representa la conexión entre lo divino y lo terrenal, así como la armonía entre los opuestos, pues al obtenerse mediante la superposición de los dos cuadrados, se puede interpretar como la unión de lo masculino y lo femenino, lo terrenal y lo divino, la luz y la oscuridad, etc.

Veamos un modelizado de cómo se utilizan en la puerta de la parroquia de San Benito de Abad en la localidad de Agudo (Ciudad Real, España).

Instrucciones

Podemos interactuar con esta construcción, pulsando los botones de la zona superior, para visualizar los diferentes pasos para crearla. De fondo, tenemos la imagen de la fachada de la parroquia, que podemos elegir si marcarla más o menos, moviendo el deslizador "Ver imagen". También, con el deslizador "Zoom", podemos ampliar el diseño. Por último, las casillas de la parte inferior nos permiten mostrar ciertos elementos relevantes en el proceso de modelizado.

Reflexiona

Identifica los elementos geométricos de la construcción. Marcando la casilla Circ. aux. (circunferencias auxiliares), verás cómo la circunferencia también está presente en esta representación.
Describe los ejes de simetría. Puedes comprobar la respuesta marcando la casilla Ejes.
¿Crees que la simbología descrita más arriba es pertinente para una talla en la puerta de una iglesia? Desde un punto de vista religioso, ¿qué debería interpretar la persona que la observa al acceder a la iglesia?

Como curiosidad, fíjate en que utilizando esta simbología "matemática" en lugar de texto, no es necesario comunicarse en un idioma concreto o saber leer (cosa que antiguamente no era lo más frecuente). En esta ornamentación, también podemos interpretar que aparece la divina trinidad, pues para construir las estrellas, para hacer cada trazo contamos en cada momento el tercer vértice.

¿Obtendríamos el mismo resultado si contamos de 5 en 5? (*) el número puede 5 asociarse con la gracia divina, que se otorga con los cinco dedos de la mano.
Razona si, al construir la estrella, todos los vértices quedarían conectados con una única poligonal de haberlo hecho saltando solamente 2 vértices en cada momento.
¿Habría pasado lo mismo para una estrella de 5 puntas? ¿y de 6? (razona ayudándote de un dibujo).
Razona qué relación debe haber entre el número de puntas de la estrella y el número de vértices que saltamos al construirla, para que se dibuje mediante una única poligonal.

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Referencias

https://www.mdrevelacion.org/el-senor-resucito-en-el-dia-despues-del-sabado/
https://es.wikipedia.org/wiki/Estrella_de_ocho_puntas

Tu turno

¿Quieres intentar hacer parte del modelizado anterior? Puedes descargar la imagen a continuación para probar a modelizar alguno de los elementos en GeoGebra.

Puedes seguir los pasos descritos en el applet anterior (no es necesario que hagas las animaciones).
O bien solamente alguna de las figuras que aparecen, como el cuadrado/rombo, o alguna de las estrellas.
También puedes modelizar alguno de los elementos que aparecen en otras zonas de la puerta.

Fotografía de la portada de la parroquia

– J. Cayetano Rodríguez (Formación Instituto GeoGebra Extremeño)

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1ºESO. Polígonos y Circunferencias.

Table of Contents

Information

Polígonos

Somos artistas con... polígonos y circunferencias

Triángulos

Jugamos con la clasificación de los triángulos

Instrucciones

Cuadriláteros

Jugamos con la clasificación de los Cuadriláteros

Instrucciones

Circunferencias

Elementos de la Circunferencia y del Círculo

Instrucciones

Muestra tu arte

Polígonos, estrellas e hilogramas

¿Creamos el nuestro?

Ampliación

Tallas que utilizan elementos geométricos. Iglesia de Agudo

Instrucciones

Reflexiona

Referencias

Tu turno