Integralrechnung
Beispiele zur Integralrechnung
Table of Contents
- Unter- und Obersummen
- Unter- und Obersumme
- Riemannsumme 1
- Riemannsumme 2
- Riemannsumme 3
- Stammfunktion
- Stammfunktionen elementarer Funktionen
- Wichtige Sätze
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Flächenberechnungen
- Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
- Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
- Größe eines Sees
- Gleich große Flächen
- Integralfunktion
- Anwendungen
- Berechnung der Länge einer Kurve
- Straßenverlauf
- Fourier-Reihe für Rechteckschwingung
- Fourier-Analyse einer Kippschwingung
- Volumen eines Körpers
- Numerische Integration
- Numerische Integration
- Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
- Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
- Cavalieri-Prinzip
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen eines Kegels
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen einer Pyramide
- Dom zu Speyer
- Staumauer
- Gewölbte Staumauer
- Rotationsvolumina
- Rotationskörper
- Berechnung des Rotationsvolumens
- Volumen eines Hühnereis
Unter- und Obersumme
Das Applet zeigt die [b]Ober- bzw. Untersumme[/b] für die [b]Funktion f[/b] im Intervall [b][a; b][/b].[br][br]Verändere mit dem Schieberegler die Anzahl der Unterteilungen n im Intervall [a; b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Ab wie vielen Unterteilungen unterscheiden sich Unter- und Obersumme der Funktion f(x) = 0,1·x² im Intervall [3; 6] um weniger als 0,2?[/*][*]Untersuche die Funktion f(x) = cos(x).[br]Beachte, wie die Unter- bzw. Obersumme in jedem Teilintervall stets das Minimum bzw. Maximum annimmt.[br]Berechne die Unter- bzw. Obersumme im Intervall [0; π] für n = 30.[/*][/list][br]Hinweis: [br]Die Folge der Ober- bzw- Untersummen muss nicht monoton fallend bzw. monoton steigend sein.[br]Am Beispiel [math]f\left(x\right)=e^{sin\left(-x^2\right)}[/math] kann das überprüft werden.
Stammfunktionen elementarer Funktionen
Im unteren Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Stammfunktion zu bestimmen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm einer Stammfunktion (abgesehen von einer Konstanten c) ein.[br]Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.[br]Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Stammfunktion.[br][br][i]Hinweis: Gib die Exponentialfunktion zur Basis e am besten mit exp(x) ein.[/i]
Mittelwertsatz der Integralrechnung
[b]Satz[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b]. Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in [a; b] mit [br][math]\int_{a}^{b}{f(x) dx} = f(\xi) \cdot (b-a)[/math][br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus [a; b] , sodass der Flächeninhalt des Rechtecks gleich ist dem Flächeninhalt unter der Kurve von a bis b. [br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Integrationsgrenzen und beobachte die Auswirkungen.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Andreas Lindner
Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
Es soll der Flächeninhalt, der von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird, mit Hilfe eines Integrals berechnet werden.[br]Die beiden Graphen schneiden einander und haben mehrere Nullstellen.[br][br]Erkläre, warum der Flächeninhalt durch [math] A = \int_{x_1}^{x_2}{\left\vert f(x) - g(x) \right\vert \, dx } +\int_{x_2}^{x_3}{\left\vert f(x) - g(x) \right\vert \, dx } [/math] berechnet werden kann, obwohl über mehrere Nullstellen hinweg integriert wird und der Flächeninhalt teilweise über bzw. unter der x-Achse liegt.[br][br]Verschiebe dazu die Funktionsgraphen um den Wert c in Richtung der y-Achse.
Berechnung der Länge einer Kurve
Die Länge einer Kurve kann näherungsweise als Summe [math]s_n[/math] von endlichen vielen Wegstücken [math]s_i[/math] berechnet werden. [br]Einen exakten Wert erhältst du mit dem Integral [math]s = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+[f'(x)]^2} dx} [/math].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Erhöhe die Anzahl n der Unterteilungen in Intervall [0; 1,5] und vergleiche die Näherung bei n = 10 mit dem exakten Wert, der über das entsprechende Integral berechnet wird.[br]Verändere die Intervallgrenzen a und b.[br]Berechne die Länge des Graphen der Sinusfunktion f(x) = sin(x) von 0 bis π.[br]Tipp: Wähle in den Eigenschaften des Zeichenblatts π als Einheit für die x-Achse, um die obere Grenze des Intervalls genau einstellen zu können
Numerische Integration
Es gibt verschiedene Verfahren, um ein Integral näherungsweise zu berechnen.[br][br]Diese numerische Berechnung ist manchmal notwendig, weil das Auffinden der Stammfunktion einerseits sehr aufwändig und kompliziert sein kann und es andererseits Funktionen gibt, für die keine Stammfunktion in geschlossener Form angegeben werden können (z. B. für [math] f(x) = e ^{-x ^{2}} [/math]).[br][br]In diesem Arbeitsblatt werden die [b]Untersumme, Mittelsumme, Obersumme,[/b] die [b]Trapezregel [/b]und die [b]Simpson-Näherung [/b]vorgestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]• Berechne mit den verschiedenen Näherungsverfahren das Integral von a = 1 bis b = 1,5 für n = 5 Unterteilungen.[br]• Blende abwechselnd die einzelnen Verfahren ein und vergleiche die ermittelten Ergebnisse.[br]• Erhöhe die Anzahl der Unterteilungen n mit dem Schieberegler.[br]• Berechne das Integral von a = 1 bis b = 2 von f(x) = sin(x).[br] Tipp: Du musst die Funktionsgleichung f(x) = sin(x) in der Eingabezeile eingeben.[br]• Welches Verfahren approximiert ein berechnende Integral in der Regel am besten?
Cavalieri-Prinzip
Im Applet siehst du eine gerade und eine schiefe Pyramide.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][br][*]Bewege die Spitze [math]S_1[/math] vertikal und die Spitze [math]S_2[/math] horizontal.[br][*]Drehe die Konstruktion in den Grundriss und vergleiche die Größen der beiden Schnittfiguren mit der blauen Ebene ε.[br][*]Verändere mit dem Schieberegler die Höhe h und vergleiche wieder die Größen der beiden Schnittfiguren.[br] [/list]
Andreas Lindner
Rotationskörper
Entstehen eines Körpers durch Rotation des Graphen um die x- bzw. y-Achse[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Veranschauliche den Rotationskörper, der durch die Rotation der Sinusfunktion um die x-Achse zwischen 0 und 2π entsteht.