[b]Binom fogalma, együtthatói[br][br][/b][b]  [/b]Legyen [b][i]n[/i][/b],[b] [i]k[/i][/b] [math]\in[/math] N és [b][i]n[/i][/b] [math]\ge[/math] [i][b]k[/b].[/i] Egy [b][i]n[/i][/b] elemű halmaz [b][i]k[/i][/b] elemű részhalmazainak a számát így [br]jelöljük: [math]\binom{n}{k}[/math]. (Olvasd: "en a ká felett".)[br][br]  A kéttagú kifejezést idegen szóval [b]binomnak[/b] nevezzük. A binomok hatványozásánál fellépő együtthatóknak innen származik az elnevezése. Az [math]\binom{n}{k}[/math] számokat [b]binomiális együtthatóknak [/b]nevezzük. Az [i][b]n [/b][/i]és [i][b]k[/b] [/i]természetes számok, a [i][b]k[/b] [/i]nem lehet nagyobb az [i][b]n[/b][/i]-nél. [br][br]  Például egy háromelemű halmaznak [math]\binom{3}{0}[/math] nullaelemű; [math]\binom{3}{1}[/math] egyelemű; [math]\binom{3}{2}[/math] kételemű; [br][math]\binom{3}{3}[/math] háromelemű részhalmaza van. [br][br][b]Feladat:[/b][br][br]  Vizsgáljuk a {P, Q, R} háromelemű halmazt. Könnyű belátni, hogy e halmaznak 1 nullaelemű, [br]3 egyelemű, 3 kételemű és 1 háromelemű részhalmaza van:[br][br]         [math]\varnothing[/math];        {P};        {Q};        {R};        {P; Q};        {P; R};        {Q; R};        {P; Q; R}, [br][br]tehát [math]\binom{3}{0}[/math]=1;   [math]\binom{3}{1}[/math]=3;   [math]\binom{3}{2}[/math]=3;   [math]\binom{3}{3}[/math]=1 .[br][br]   

[b]Ha [i]a [/i]és [i] [/i][i]b[/i] valós számok, [i]n[/i] pedig pozitív egész szám, akkor [/b][br][b][i](a+b)[/i][/b][math]^n[/math][b][i]=[/i][/b][math]\binom{n}{0}[/math][b][i]a[/i][math]^n[/math][i]+[/i][/b][math]\binom{n}{1}[/math][b][i]a[/i][/b][math]^{n-1}[/math][b][i]b+[/i][/b][math]\binom{n}{2}[/math][b][i]a[/i][/b][math]^{n-2}[/math][b][i]b[/i][/b][math]^2[/math][b][i]+...+[/i][/b][math]\binom{n}{n}[/math][b][i]b[/i][/b][math]^n[/math][b][i].[br][br][/i][/b]Például[br][math]\left(a+b\right)^3=\binom{3}{0}a^3+\binom{3}{1}a^2b+\binom{3}{2}ab^2+\binom{3}{3}b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/math][br][math]\left(a+b\right)^4=\binom{4}{0}a^4+\binom{4}{1}a^3b+\binom{4}{2}a^2b^2+\binom{4}{3}ab^3+\binom{4}{4}b^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.[/math][br][br][br][b]Ha az [i]n[/i] és[i] k[/i] pozitív egész szám, és[i] k[/i][math]\le[/math][i]n[/i] , akkor[math]\binom{n}{k}=C^k_n.[/math] [br][br][/b]  Egy [i][b]n[/b][/i] elemű halmaz[b][i] k[/i][/b] elemű részhalmazának a megadása ugyanis éppen azt jelenti,[br]hogy az [b][i]n [/i][/b]különböző elem közül úgy választunk ki[b][i] k[/i][/b] elemet, hogy mindegyik legfeljebb[br]egyszer választható és nem számít a kiválasztott elemek sorrendje.[br]Ezért olyan pozitív egész [b][i]n[/i][/b] és[b][i] k[/i][/b] számok esetében, ahol[i][b]k[/b][math]\le[/math][/i][b][i]n[/i][/b] ,[br][br]   [math]\binom{n}{k}=C^k_n=\frac{V^k_n}{P_k}=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot...\cdot\left(n-k+1\right)}{k!}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}[/math].[br][br][br]  Ezzel a jelöléssel könnyen felírhatjuk, hogyan számíthatjuk ki [b][i]n[/i][/b] különböző elem [b][i]k[/i][/b]-ad [br]osztályú ismétléses kombinációinak a számát:[br] [br]   [math]C^{k,i}_n=C^k_{n+k-1}=\binom{n+k-1}{k}[/math].[br][br][br]  A kombinációkat nem értelmezzük az [b][i]n[/i][/b]:=0 és a [b][i]k[/i][/b]:=0 esetekben, a binomiális [br]együtthatókat azonban igen. Ezért ezekben az esetekben a definíció alapján állapíttjuk meg, [br]hogy [br]  [math]\binom{0}{0}=1[/math] , és minden pozitív egész [b][i]n[/i][/b] esetén [math]\binom{n}{0}=1[/math].