X[sub]45[/sub], triangle center X(45) is X(9)-beth conjugate of X(1).[br]X(9) is the Mittenpunkt. This is constructed as follows:[br]Draw the lines between the centers of the excircles of the triangle and the midpoints of the sides. The Middenpunkt is the point where the three lines cross.[br]X(1) is the incenter.[br]A beth- conjugate is defined as follows:[br]Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC. [br]The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),[br]where[br]h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,[br]where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c.[br]The isogonal conjugate of X[sub]45[/sub], triangle center X(45) can be constructed as follows:[br][list][*]Reflect the lines AX[sub]45[/sub], BX[sub]45[/sub], CX[sub]45[/sub] about the bisectors of the triangle ABC (=blue lines)[/*][*]These blue lines cross at the triangle center X(89).[br]The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the triangle.[/*][/list]

X[sub]45[/sub], driehoekscentrum X(45) is de X(9)-beth toegevoegde van X(1).[br]X(9) is het middenspunt. Dit construeer je als volgt:[br]Teken de lijnen tussen de middelpunten van aangeschreven cirkels van de driehoek en de middens van de drie zijden. Het middenspunt is het punt waar deze lijnen elkaar snijden.[br]X(1) is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.[br]De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),[br]met[br]h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,[br]waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c.[br]Het isogonale toegevoegde punt van X[sub]45[/sub], het driehoekscentrum X(45) construeer je als volgt:[br][list][*]Spiegel de rechten AX[sub]45[/sub], BX[sub]45[/sub], CX[sub]45[/sub] t.o.v. de bissectrices van ABC (=blauwe lijnen).[/*][*]Deze blauwe lijnen snijden elkaar in het driehoekscentrum X(89).[/*][/list]De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek