Most már bátran használhatjuk mindazokat az eljárásokat, amelyek a P-modell eszköztárában megtalálhatók. Azonban továbbra sem fogjuk szem elől téveszteni azt az alapcélt, hogy aszerint osztályozzuk a vizsgálatainkat, hogy azok csak a hiperbolikus geometriában, vagy az abszolút geometriában – így az euklideszi geometriában is – érvényesek-e.

[list=1][*]Egy háromszög [i][b][color=#9900ff]defektusának[/color][/b][/i] nevezzük a háromszög szögösszegének az egyenesszögtől való eltérését.[br][list][*][color=#0000ff][b]Az euklideszi geometriában bármely háromszög defektusa nulla.[/b][/color][/*][/list]Legyen adott az ABC háromszög. Szerkesszük meg a defektusát. Mutassuk meg, hogy a háromszög szögeinek az összege kisebb az egyenesszögnél, így: [br][list][*][b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában bármely háromszög defektusa pozitív.[/color][/b][/*][/list][br][/*][*]Legyen adott a [i]B[/i][sub]1[/sub][i]A[/i][sub]1[/sub][i]C[/i][sub]1[/sub] szög valamint  az [[i]A[/i][sub]2[/sub][i]D[/i]) félegyenes! Tengelyes tükrözésekkel állítsuk elő a [i]B[/i][sub]1[/sub][i]A[/i][sub]1[/sub][i]C[/i][sub]1 [/sub]szöggel, egybevágó, vele azonos irányítású [i]B[/i][sub]2[/sub][i]A[/i][sub]2[/sub][i]C[/i][sub]2[/sub][sub] [/sub]szöget, melynek egyik szára az [[i]A[/i][sub]2[/sub][i]D[/i])[i] [/i]félegyenes![br]Vizsgáljuk meg, hogy[br][list=a][*]az eredeti és a kapott szög – fokokban mért – mértéke milyen pontosan egyezik meg;[/*][*]egy E ponttal megadott mértékegységet használva az [i]A[/i][sub]1[/sub][i]B[/i][sub]1[/sub] és [i]A[/i][sub]2[/sub][i]B[/i][sub]2[/sub] valamint az [i]A[/i][sub]1[/sub][i]C[/i][sub]1[br][/sub][i]A[/i][sub]2[/sub][i]C[/i][sub]2[/sub] szakaszok H-mérőszámai milyen pontosan egyeznek meg;[/*][*]az[i] A[/i][sub]1[/sub][i]B[/i][sub]1[/sub] és [i]A[/i][sub]1[/sub][i]C[/i][sub]1[/sub] valamint az [i]A[/i][sub]2[/sub][i]B[/i][sub]2[/sub] és [i]A[/i][sub]2[/sub][i]C[/i][sub]2[/sub] szakaszok aránya egyenlő-e, és független-e a mértékegység megválasztásától![/*][/list][/*][*]Legyen adott a P-modellen egy[i] E[/i] ponttal meghatározott távolságegység, az [[i]AD[/i]) félegyenes. valamint egy-egy csúszkával megadott mértékű [i]b[/i] távolság, és a 0° [i]< α [/i]< 180°-os szög. Szerkesszük meg azt a pozitív körüljárású[i] ABC [/i]egyenlő szárú háromszöget, amelynek a csúcsszöge[i] α[/i], és az [i]AB[/i] szára az [[i]AD[/i])[i] [/i]félegyenesre esik! Mekkora a háromszög BC alapja és az alapon fekvő szöge? Mennyi a defektusa?[br][br][/*][*]Az abszolút geometriai szerkesztések eszköztárával[url=https://www.geogebra.org/m/SCxpYxpk] előállítottunk[/url] a H-számegyenesen (néhány) egész számnak megfelelő pontot. Vizsgáljuk meg, hogy a  [math]g\left(x\right)=10th\left(x\frac{p}{2}\right)[/math] képlettel kapott pontok egész [i]x[/i] értékekre milyen pontosan esnek egybe a szerkesztéssel kapott pontokkal![br][/*][*]Legyen adott a P modellen az [i]E[/i] ponttal adott távolságegység, valamint az [i]ABC [/i]háromszög három csúcsa. Adjuk meg a háromszög szögeinek a nagyságát (mérőszámát) fokokban, és a [i]δ[/i] =180°-([i]α[/i]+[i]β[/i]+[i]γ[/i]) [i]defektusát[/i] – a szögek összegének az egyenes szögtől mért eltérését). Adjuk meg az oldalak [i]E[/i]-től függő H-hosszát. E mérőszámokat megadva mutassuk meg, hogy [br] a.) bármely háromszög defektusa pozitív;[br] b.) bármely háromszög nagyobb oldalával szemközti szög nagyobb;[br] c.) mutassuk meg, hogy a háromszög bármely két oldalának a [u]hossza[/u] nagyobb a harmadik oldal [u]hosszánál[/u].[br][br][/*][*]Legyen adott az [i]A [/i]és [i]B[/i] pont. Vizsgáljuk meg, hogy[br] a.) mekkora szög alatt látszik az [i]AB[/i] átmérőjű [i]s[/i] kör pontjaiból az [i]AB[/i] szakasz;[br] b.)  mi azon pontok mértani helye a P-modellen, ahonnan az [i]AB [/i]szakasz derékszög alatt látszik?[br][br][/*][*]Legyen adott a P-modellen az [i]s[/i] kör (középpontjával és egy kerületi pontjával), valamint egy rajta[br]kívül Levő[i] P[/i] pont! Szerkesszük meg a [i]P[/i]-re illeszkedő [i]s[/i]-t érintő egyeneseket![br][br][/*][*]Szerkesszünk a P-modellen [i]n[/i] oldalú szabályos sokszöget, ha adott a köréírt körének a középpontja és egy egyik csúcsa! Engedjük meg az önátmetsző eseteket is. Mekkorák a sokszög szögei?[br][br]Olvasóink előzetes megnyugtatására közöljük, hogy az alábbi két feladat önálló megoldását nem várjuk el. Az eredmények megismerését, megértés viszont igen. Ezeket a kérdéseket maga Bolyai János vetette fel, és adott rájuk hiánytalan választ.[br] [/*][*]Legyen adott a P-modellen az [i]a[/i] egyenes és a rá nem illeszkedő [i]P[/i] pont. A[u] P-modell eszköztárával[/u] tehát lényegében az euklideszi szerkesztés eszköztárával szerkesszük meg a [i]P[/i]-re illeszkedő, [i]a[/i]-hoz (egyik ill. másik irányban) egyirányú - aszimptotikusan párhuzamos - egyeneseket![br][br][/*][*]Legyen adott ismét a P-modellen az [i]a[/i] egyenes és a rá nem illeszkedő [i]P[/i] pont. Milyen kapcsolat van a P pontnak az a egyenestől mért [i]d[/i] távolsága és a P-ből [i]a[/i]-ra bocsátott merőlegesnek és az előző feladatban megszerkesztett P-n átmenő [i]a[/i]-val egyirányú egyenesnek a szöge között?[br][/*][/list]