拡張三角形

Bunryu Kamimura, Nov 9, 2017

三角形から新しい三角形を作る方法は３つある。 (1)中点を結んでできる中点三角形 (2)垂線の足を結んでできる垂足三角形 (3)内接円の接点を結んでできる内心三角形 この３つの場合を、今度は拡大するとどうなるのだろうか？

Table of Contents

  1. 中点三角形から逆中点三角形へ
    1. 六点円（テーラー円）と三角形の心
    2. 中点三角形
    3. 逆中点三角形の作図
    4. 逆中点三角形の作図（平行）
    5. 中点三角形を作図しよう
    6. 外心と垂心は等角共役の意味
  2. 垂足三角形から傍心三角形へ
    1. 垂心と垂足三角形
    2. 三角形の角の二等分線
    3. 傍心三角形⇔垂足三角形
  3. 内心三角形から接線三角形へ
    1. 接線三角形
    2. 逆チェバ三角形
    3. 逆チェバ三角形
  4. まとめ
    1. 三角形の拡大と縮小
    2. 内心→垂心→外心

1.

中点三角形から逆中点三角形へ

中点三角形の中心はどうなっているのだろうか。 次に、中点三角形の逆を考える。 それを逆中点三角形と名づける。 どう作ったらいいのだろうか。

  • 1. 六点円（テーラー円）と三角形の心
  • 2. 中点三角形
  • 3. 逆中点三角形の作図
  • 4. 逆中点三角形の作図（平行）
  • 5. 中点三角形を作図しよう
  • 6. 外心と垂心は等角共役の意味

1.1.

六点円（テーラー円）と三角形の心

外接円と内接円と９点円と６点円と心
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

垂足三角形から傍心三角形へ

垂足三角形と中点三角形の頂点は同じ円周上にある。 垂足三角形は自然に傍心三角形になる。

  • 1. 垂心と垂足三角形
  • 2. 三角形の角の二等分線
  • 3. 傍心三角形⇔垂足三角形

2.1.

垂心と垂足三角形

Hは垂心。[br]△ABCの垂心は垂足三角形DEFの内心である。[br]△DEFの外接円は△ABCの九点円である。[br]これらのことは、三角形とその傍心三角形との間にも同様に成り立つ。[br]この図に補助円を書き加えながら、まずは内心になることを証明してみよう。
垂心と垂足三角形
９点円は垂足三角形の外接円である。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

3.

内心三角形から接線三角形へ

内心は内接円の中心である。 辺との接点を頂点と結ぶと一点で交わる。 この点をジェルゴンヌ点という。 接点を結んだ三角形を内接三角形と名づける。 逆に頂点から外接円の接線を引くと、接線三角形ができる。 これを一般化して接するのが円だけでなく楕円にすると、元の三角形がチェバ三角形になる三角形（逆チェバ三角形）ができる。 どうしたら作図できるのか考えてみよう。

  • 1. 接線三角形
  • 2. 逆チェバ三角形
  • 3. 逆チェバ三角形

3.1.

接線三角形

△ＡＢＣの内接三角形が△ＭＮＰ。△ＤＥＦは接線三角形（円の接線の作る三角形）。
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

4.

まとめ

これらの三つの三角形の間にはどのような関係があるのだろうか。 三角形の間にはこのような３角関係がある。

  • 1. 三角形の拡大と縮小
  • 2. 内心→垂心→外心

4.1.

三角形の拡大と縮小

逆中点三角形、傍心三角形、接線三角形を三角形の拡大とし、中点三角形、垂足三角形、内接三角形を縮小とする。
きれいな対応がある
傍心三角形←→垂足三角形　外接円←→9点円　垂心[br]（垂心）←→（内心）[br]逆中点三角形←→中点三角形　外接円←→9点円　重心[br]（外心）←→（垂心）[br]接線三角形←→内接三角形　外接円←→内接円　ジェルゴンヌ点[br]（内心）←→（外心）
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

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