Sean [i]ABC[/i] un triángulo y [i]DEF[/i] el triángulo ceviano del punto de Lemoine (simediano, X[sub]6[/sub]). Las rectas paralelas por [i]D[/i] a [i]AB[/i] y a [i]AC[/i], cortan a [i]AC[/i] y a [i]AB[/i], respectivamente, en [i]B[sub]a[/sub][/i] y [i]C[sub]a[/sub][/i]. Análogamente, se define los puntos [i]C[sub]b[/sub], A[sub]b[/sub], A[sub]c[/sub][/i] y [i]B[sub]c[/sub][/i]. Γ[sub]a[/sub] es la circunferencia que pasa por [i]B, C, B[sub]a[/sub][/i] y [i]C[sub]a[/sub][/i] Γ[sub]b[/sub] es la circunferencia que pasa por [i]C, A, C[sub]b[/sub][/i] y [i]A[sub]b[/sub][/i] Γ[sub]c[/sub] es la circunferencia que pasa por [i]A, B, A[sub]c[/sub][/i] y [i]B[sub]c[/sub][/i] [b] Las ocho circunferencias de Apolonio, tangentes simultánemente a las circunferencias Γ[sub]a[/sub], Γ[sub]b[/sub] y Γ[sub]c[/sub][/b] ( Ver más detalles en: [url] http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2015.htm#HG191015 [/url] )
¿Alguien puede dar las coordenadas de los puntos Re,Ri,Te,Ti,Ve,Vi,We,Wi? ¿Y las de Ue, Ui? ([url]https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/2932[/url], Dao Thanh Oai) Peter J.C. Moses (14-Nov-2015) In barycentric coordinates, ([math]S=2\Delta, S_\theta=S\cot\theta, \omega[/math] Brocard's angle): [math]T_i = \left(\tan\frac{\omega}{ 2}\right)^2 X_3 + X_6 = a^2 (S + S_A \left( \tan\frac{\omega}{ 2}\right)^2 \cot\omega )::.[/math] [math]T_e = \left(\cot\frac{\omega}{2}\right)^2 X_3 + X_6 = a^2 (S + S_A \left(\cot\frac{\omega}{2}\right)^2 \cot\omega)::[/math] [math]T_e[/math] is 'closer' to [math]X_3[/math] and [math]T_i[/math] closer to [math]X_6[/math]. [math]Wi = (\tan\omega)^4 / (1 - \sec\omega) X_3 + X_6 = a^2 (S_A + S (\cot\omega)^2 (\cot\omega - \csc\omega))::[/math] [math]We = (\tan\omega)^4 / (1 + \sec\omega) X_3 + X_6 = a^2 (S_A + S (\cot\omega)^2 (\cot\omega +\csc\omega))::[/math] [math]V_i = X_3 + (1 + \cot\omega \csc\omega) X_6 = a^2 (S_A + S (\csc\omega + \tan\omega))::[/math] [math]V_e = X_3 + (1 - \cot\omega \csc\omega) X_6 = a^2 (S_A + S (\tan\omega - \csc\omega))::[/math] [math]Ri = (4 + 2 \sec\omega + (\tan\omega)^2) X_3 + X_6 = a^2 \left(S_A + S\frac{ \cot\omega}{1 + 4 (\cot\omega)^2 + 2 \cot\omega \csc\omega}\right)::[/math] [math] Re = (4 - 2 \sec\omega + (\tan\omega)^2) X_3 + X_6 = a^2 \left(S_A + S\frac{ \cot\omega}{1 + 4 (\cot\omega)^2 - 2 \cot\omega \csc\omega}\right)::[/math] Peter J.C. Moses (16-Nov-2015) [math]U_e =\frac{(1 + \sec\omega)^2 - \cos\omega }{1 + \cos\omega} X_3 + X_6 = a^2\left( S_A +S \frac{\cot\omega (\sec\omega + 1) }{ 2 \cot\omega \csc\omega + \sec\omega + 2 + (\cot\omega)^2}\right):: [/math] [math]U_i=\frac{(1 - \sec\omega)^2 + \cos\omega }{1 - \cos\omega} X_3 + X_6 = a^2\left( S_A + S\frac{ \cot\omega (\sec\omega - 1) }{ 2 \cot\omega \csc\omega + \sec\omega - 2 - (\cot\omega)^2}\right):: [/math] Two other points on the Brocard's axis of this configuration (Peter J.C. Moses, 17-Nov-2015): Circles [math]\Gamma_b[/math] and [math]\Gamma_c[/math] intersect, other than [i]A[/i], at [i]A'; B' & C'[/i] cyclic. Circumcenter of [i]A'B'C'[/i]: [math]X'_3 = (3 +(\tan\omega)^2) X_3 + 2 X_6 = a^2 \left(S_A +S \frac{\sin(2\omega)}{2 + \cos(2\omega)}\right):: = a^2 (a^6+a^4 b^2-2 a^2 b^4+a^4 c^2-5 a^2 b^2 c^2-3 b^4 c^2-2 a^2 c^4-3 b^2 c^4)::[/math] Symmedian of [i]A'B'C'[/i]: [math]X'_6 = 6 X_3 + (1 + 3 (\cot\omega)^2) X_6 = a^2\left(S_A + S \frac{3 \cot\omega + \tan\omega}{ 6}\right):: = a^2 (a^4-2 a^2 b^2-2 b^4-2 a^2 c^2-5 b^2 c^2-2 c^4)::[/math]