[b]Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto. Tale punto è detto incentro ed è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.[/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]AI è la bisettrice dell'angolo in A;[/*][*]BI è la bisettrice dell'angolo in B  [/*][/list][/td][td][list][*]CI è la bisettrice dell'angolo in C;[/*][*]I è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo[/*][/list][/td][/tr][/table][br][b]Costruzione[/b][br]Disegnare un triangolo ABC; la bisettrice AI dell'angolo in A e la bisettrice BI dell'angolo in B (sono incidenti in I perché tagliate dalla trasversale AB formano angoli coniugati interni non supplementari).

[b][i]Dimostrazione[/i][/b][br]Prima parte:[br][list=1][*]I appartiene alla bisettrice dell'angolo in A allora è equidistante dai suoi lati cioè IE=IF[/*][*]I appartiene alla bisettrice dell'angolo in B allora è equidistante dai lati cioè IF=ID[/*][*]per 1. e 2. e per la transitività della congruenza si ottiene IE=ID [/*][*]Essendo IE=ID allora I è un punto della bisettrice dell'angolo in C , così anche la terza bisettrice passa per I. [/*][/list]Seconda parte[br][list][*]Dalla dimostrazione fatta risulta IE=IF=ID quindi I è il centro della circonferenza tangente ai tre lati del triangolo, cioè della circonferenza inscritta.[/*][/list]c.v.d.