Anche l'ellisse, come la circonferenza, è un [b]luogo geometrico, cioè un insieme di punti che godono tutti della stessa proprietà[/b]. La proprietà dell'ellisse è un po' più complessa di quella della circonferenza.[br][br]Mentre nella circonferenza si fissava un punto, detto centro, nell'ellisse se ne fissano due; vengono chiamati [color=#ff0000][b]fuochi dell'ellisse[/b][/color]. Tutti i punti dell'ellisse hanno questa proprietà: [color=#ff0000][b]per ogni punto la SOMMA delle sue distanze dai due fuochi è sempre la stessa[/b][/color].[br][br]Quindi se ho due fuochi [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math], i punti [math]P[/math] dell'ellisse sono tali per cui [math]\overline{PF_1}+\overline{PF_2}[/math] è uguale sempre allo stesso valore, caratteristico dell'ellisse, rappresentato dall'espressione [math]2a[/math]: [br][br][center][math]\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a[/math][/center]Volendo proseguire l'analogia con la circonferenza, allo stesso modo in cui i fuochi sono il corrispondente del centro della circonferenza, [math]2a[/math] è il corrispondente del raggio. Viene indicato con [math]2a[/math] perchè, come vedremo, è il doppio di una caratteristica molto importante dell'ellisse.[br][br]Dato che i calcoli per determinare l'equazione di un'ellisse sono piuttosto complessi, considereremo un modo piuttosto semplice di disporre [b]i fuochi[/b]: [br][br][list=1][*][b]giacciono su uno degli assi cartesiani[/b] (nel nostro primo esempio sarà l'asse [math]x[/math])[/*][*][b]sono simmetrici rispetto l'origine degli assi[/b] (possiamo anche dire che l'origine degli assi è il punto medio dei due fuochi); nel nostro primo esempio uno avrà coordinate [math]F_1\left(4,0\right)[/math] e l'altro [math]F_1\left(-4,0\right)[/math][/*][/list][br]Quando avremo queste caratteristiche parleremo di [b]"[color=#ff0000]ellisse riferita agli assi[/color]"[/b]. [br][br]Nella seguente animazione iniziamo a prendere confidenza con la definizione dell'ellisse ed a vedere come si disegna, usando il caso particolare dell'ellisse riferita agli assi. Ovviamente anche le altre ellissi si disegnano in modo simile.

Prima di fare i calcoli per trovare l'equazione dell'ellisse, studiamola meglio per imparare le sue caratteristiche.

Come abbiamo fatto per la circonferenza, per trovare l'equazione dell'ellisse partiamo dalla definizione: la somma di [math]\overline{PF_1}[/math] e di [math]\overline{PF_2}[/math] è uguale ad una costante, che sappiamo vale [math]2a[/math].[br][br][center][math]\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a[/math][/center][br]Le distanze si calcolano, come al solito, con il teorema di Pitagora, quindi la formula [b]generale[/b] diventa:[br][br][center][math]\sqrt{\left(x-x_{F_1}\right)^2+\left(y-y_{F_1}\right)^2}+\sqrt{\left(x-x_{F_2}\right)^2+\left(y-y_{F_2}\right)^2}=2a[/math][/center]Nel nostro caso semplice abbiamo che i fuochi sono sull'asse x, ed hanno coordinate [math]F_1\left(-c,0\right)[/math] e [math]F_2\left(c,0\right)[/math], la formula diventa quindi[br][br][center][math]\sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}+\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}=2a[/math][/center]I calcoli per giungere alla formula dell'ellisse sono piuttosto complessi ma si basano su un [b]ragionamento logico chiaro[/b]. Li trovi di seguito, oppure puoi passare direttamente al paragrafo [color=#ff0000]PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI[/color]. [br][br]Vogliamo eliminare le radici elevando entrambi i membri al quadrato; tuttavia essendocene due ed essendoci un terzo termine non è possibile isolarle entrambe. Portiamo una delle radici a secondo membro, in modo da ottenere un doppio prodotto il più semplice possibile.[br][br][center][math]\sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}=2a-\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}\quad \rightarrow\quad \textcolor{red}{\left (\textcolor{black}{\sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}}\right )^2\textcolor{black}{=}\left (\textcolor{black}{2a-\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}}\right )^2}[/math][/center][br]Come dicevamo, a secondo membro dovremo svolgere un quadrato di binomio e quindi un doppio prodotto, ma perlomeno uno dei due termini è semplicemente [math]\large{2a}[/math] e quindi i calcoli saranno un po' più semplici. Procediamo eliminando la radice a primo membro e svolgendo il quadrato di binomio al secondo.[br][br][center][math]\large{\left(x+c\right)^2+ y^2=\underbrace{4a^2}_{\text{quadrato\\ di 2a}}\underbrace{+\left(x-c\right)^2+ y^2}_{\text{quadrato della radice\\(sparisce, e pure il meno)}}\underbrace{-2\cdot 2a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}}_{\text{doppio prodotto}}}[/math][/center][br][br]Svolgendo i conti otteniamo[br][br][center][math]\large{x^2+c^2+2cx+ y^2=4a^2+x^2+c^2-2cx+ y^2-4a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}}[/math][/center][br][br]Semplifichiamo i termini che si cancellano ed isoliamo la radice che è comparsa dal doppio prodotto: la portiamo al primo membro e spostiamo a secondo membro tutto il resto:[br][br][center][math]\large{4a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2} = 4a^2-4cx}[/math][/center][br]Dividiamo tutto per [math]\large{4}[/math] poi eleviamo di nuovo entrambi i membri per eliminare definitivamente la radice[br][br][center][math]\large{ \textcolor{red}{ \left ( \textcolor{black}{a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}} \right ) ^2 \textcolor{black}{=} \left ( \textcolor{black}{a^2-cx} \right )^2} \quad \rightarrow \quad a^2 \cdot \left [\left(x-c\right)^2+ y^2 \right ] = a^4 + c^2x^2-2a^2cx}[/math][/center][br][br]svolgiamo i conti[br][br][center][math]\large{ a^2 \cdot \left [x^2+c^2-2xc+ y^2 \right ] = a^4 + c^2x^2-2a^2cx \quad \rightarrow \quad a^2 x^2+a^2c^2-2a^2xc+ a^2y^2 = a^4 + c^2x^2-2a^2cx }[/math][/center][br][br]I due termini [math]\large{-2a^2xc}[/math] si cancellano; portiamo tutti i termini che contengono [math]\large{x}[/math] o [math]\large{y}[/math] a primo membro ed il resto al secondo.[br][br][center][math]\large{a^2 x^2-c^2x^2 + a^2y^2 = a^4 -a^2c^2 }[/math][/center][br] [br]Cerchiamo di evidenziare i termini analoghi: raccogliamo [math]\large{x^2}[/math] tra i primi due termini al primo membro e [math]\large{a^2}[/math] al secondo membro:[br][br][center][math]\large{x^2(a^2 -c^2) +a^2 y^2 = a^2(a^2 -c^2) }[/math][/center][br][br]Notiamo che ad entrambi i membri appare l'espressione [math]\large{\textcolor{#007700}{a^2-c^2}}[/math]: studiamola un po', [b]in particolare ci interesserà scoprire che è sempre positiva[/b]. Innanzitutto ricordiamoci del significato geometrico di [math]\large{a}[/math] e di [math]\large{c}[/math] osservando l'immagine qui sotto:[br]

Dalle considerazioni sulla figura ne deduciamo che [math]\large{2a>2c}[/math], quindi [math]\large{a>c}[/math], quindi [math]\large{a-c>0}[/math]. Riprendiamo ora l'espressione [math]\large{a^2-c^2}[/math] che era comparsa nei nostri calcoli, essa può essere scomposta in [math]\large{(a-c)(a+c)}[/math]; la prima parentesi è sempre positiva per quanto appena osservato, mentre la seconda lo è perchè somma di due distanze, quindi di due quantità positive. [br][br][b]Dato [math]\large{a^2-c^2}[/math] è una quantità positiva, la rappresentiamo come il quadrato di un numero, che chiamiamo [math]\large{b}[/math][/b]: per ora ci serve per rendere più leggibile l'equazione che abbiamo trovato, [b]vedremo che in realtà [math]\large{b}[/math] ha un ruolo essenziale nel definire la geometria dell'ellisse[/b].[br][br]Introduciamo quindi [math]\large{\textcolor{#007700}{b^2= a^2-c^2}}[/math], e usiamo la nuova lettera per riscrivere l'equazione trovata:[br][br][center][math]\large{x^2\textcolor{#007700}{(a^2 -c^2)} +a^2y^2 = a^2\textcolor{#007700}{(a^2 -c^2)} \quad \rightarrow \quad x^2\textcolor{#007700}{b^2} + a^2y^2 = a^2\textcolor{#007700}{b^2}} [/math][/center][br][br]Dividendo infine tutto per [math]\large{a^2b^2} [/math], che ci permette di la struttura particolarmente semplice dell'equazione dell'ellisse:[br][br][center][math]\large{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}[/math][/center][br][br]Concludiamo notando che se nella relazione che abbiamo utilizzato per introdurre [math]\large{b}[/math], [math]\large{\textcolor{#007700}{b^2= a^2-c^2}}[/math], ricaviamo la lettera [math]\large{a}[/math] otteniamo [br][center][math]\Large{\textcolor{#007700}{a^2=b^2+c^2}}[/math][/center]cioè la relazione Pitagorica presentata nel video introduttivo che lega tra loro i tre coefficienti dell'ellisse. In questa forma è forse più facile da ricordare: [math]\large{a}[/math] riveste il ruolo dell'ipotenusa, cioè il lato più lungo, ed infatti vedremo che in questo tipo di ellissi il semiasse orizzontale è il più lungo. [br][br][size=150][color=#ff0000]PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI[/color][/size][br]Abbiamo ricavato l'equazione di un'ellisse [b]riferita agli assi[/b], cioè i cui fuochi sono su uno degli assi cartesiani e sono simmetrici rispetto all'origine; questa forma dell'equazione è detta anche [b]canonica[/b]. Abbiamo visto che essa segue questo modello:[br][br][center][math]\large{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}[/math][/center][br]In particolare l'abbiamo ottenuta nel caso in cui i fuochi siano sull'asse [math]\large{x}[/math], vedremo poi cosa cambia e cosa resta identico nel caso in cui i fuochi siano sull'altro asse.[br][br]Nell'esempio che abbiamo fatto noi avevamo [math]a=5[/math] e [math]b=3[/math], quindi l'equazione diventa:[br][br][center][math]\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/math][/center]A volte si eliminano le frazioni facendo il denominatore comune. In questo caso il denominatore comune è [math]25 \cdot 9 =225[/math] ed otteniamo[br][center][math]\frac{9x^2+25y^2}{225}=\frac{225}{225}\rightarrow\ \ \ 9x^2+25y^2=225[/math][/center] [b]In questa forma vediamo che l'equazione di un'ellisse assomiglia a quella di una circonferenza, ma i coefficienti di [math]\large{x^2}[/math] e di [math]\large{y^2}[/math] non sono uguali tra loro, confermando che l'andamento lungo i due assi non è più lo stesso.[/b] Ovviamente per tornare indietro alla forma canonica basta dividere ad entrambi i membri per 225.[br][br][size=100][b]ESEMPIO[/b][/size][br]Trova i valori di [math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math] dell'ellisse [br][center][math]x^2+9y^2=36[/math][/center][br]Trovo innanzitutto la forma canonica dividendo per 36 (così a secondo membro mi resta 1, come nella forma canonica):[br][center][math]\frac{x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=\frac{36}{36}\rightarrow\ \ \ \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1[/math][/center][br]Da qui capisco che [math]a^2=36 \rightarrow\ \ a=6[/math] e [math]b^2=4 \rightarrow\ \ b=2[/math]. Per trovare [math]c[/math] uso la relazione pitagorica tra i tre coefficienti: [math]a^2=b^2+c^2[/math] quindi [math]c^2=a^2-b^2=36-4=32[/math], da cui otteniamo che [math]c^2=\sqrt{32} = 4\sqrt{2}[/math].[br][br][size=150][color=#ff0000]DALL'EQUAZIONE AL SIGNIFICATO DI a e b[/color][/size][br][br][b]Partendo dall'equazione canonica, si può verificare che [math]a[/math] e [math]b[/math] sono proprio le misure dei due semiassi dell'ellisse[/b], come abbiamo detto all'inizio. Infatti se cerchiamo le intersezioni con l'asse delle [math]x[/math] troviamo:[br][br][math]\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\y=0\end{array}\right.\rightarrow\ \ \frac{x^2}{a^2}+\frac{\textcolor{red}{0}^2}{b^2}=1\rightarrow\ \ \textcolor{red}{a^2 \cdot}\frac{x^2}{a^2}=1\textcolor{red}{\cdot a^2}\rightarrow\ \ x^2=a^2\rightarrow\ \ x=\pm a[/math][br][br]Quindi l'ellisse incontra l'asse [math]x[/math] nei punti [math]A_1\left(-a, 0\right)[/math] e [math]A_2\left(a, 0\right)[/math]. [br][br]Allo stesso modo si può verificare che l'ellisse incontra l'asse delle [math]y[/math] nei punti [math]B_1\left(-b, 0\right)[/math] e [math]B_2\left(b, 0\right)[/math]; disegnando l'ellisse e questi suoi punti di intersezione si vede che [math]a[/math] e [math]b[/math] sono effettivamente la metà delle due dimensioni dell'ellisse stessa.[br][br]I punti [math]A_1[/math], [math]A_2[/math], [math]B_1[/math] e [math]B_2[/math] sono chiamati [b]vertici dell'ellisse[/b], in quanto, come si può vedere visivamente, ne limitano l'estensione (sono i suoi "estremi" nelle quattro direzioni).

[color=#ff0000][size=100][size=150]L'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y[br][/size][/size][/color]Nel caso in cui i fuochi invece di essere sull'asse delle x giacciono su quello delle y, l'ellisse sarà "allungata" in direzione delle y invece che delle x. [br][br]Rifacendo tutti i calcoli[color=#ff0000]*[/color], ma ponendo le coordinate dei fuochi pari a [math]\large{F_1(0,-c)}[/math] e [math]\large{F_2(0,c)}[/math], si ottengono i seguenti risultati:[br][br][b][color=#ff0000]l'equazione dell'ellisse resta identica[/color][/b], cioè [math]\large{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}[/math], cioè all'asse [math]\large{x}[/math] (ed alle intersezioni con esso) resta associato il parametro [math]\large{a}[/math] ed all'asse [math]\large{y}[/math] (ed alle relative intersezioni) il parametro [math]\large{b}[/math][br][br][b][color=#ff0000]l'asse che "contiene" i fuochi sarà quello verticale, che quindi sarà il maggiore dei due[/color][/b], quindi in questa situazione si avrà che [math]\large{b>a}[/math] ed in particolare che il più grande tra i tre parametri non sarà più [math]\large{a}[/math] bensì [math]\large{b}[/math]; si ottiene infatti una diversa relazione Pitagorica tra i tre, in cui il ruolo dell'ipotenusa è svolto da [math]\large{b}[/math][br][br][center][math]\textcolor{#007700}{\large{b^2=a^2+c^2}}[/math][/center][br][color=#ff0000]*[/color] per avere dei risultati con le lettere coerenti nel loro significato si dovrebbe porre [math]\large{\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2b}[/math], in questo caso. Se qualcuno vuole provare è benvenuta/o e possiamo riparlarne a lezione.