Dadas tres líneas paralelas [color=#0000ff][b]l[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#0000ff][b]l[sub]2[/sub] [/b][/color]y [color=#0000ff][b]l[sub]3[/sub][/b][/color], tales que la distancia entre [b][color=#0000ff]l[sub]1[/sub][/color][/b] y[color=#0000ff] [b]l[sub]2[/sub][/b][/color] es [color=#0000ff][b]r[/b][/color], y la distancia entre [b][color=#0000ff]l[sub]2[/sub][/color][/b] y [b][color=#0000ff]l[sub]3[/sub][/color][/b] es [color=#0000ff][b]s[/b][/color], y entre [b][color=#0000ff]l[sub]1[/sub][/color][/b] y [b][color=#0000ff]l[sub]3[/sub][/color][/b] es [color=#0000ff][b]r + s[/b][/color], determinar el lado de un triángulo equilátero que tiene un vértice en cada una de ellas.

Fijado un vértice en una de las rectas, la solución es única salvo simetría, y se obtiene rotando otra de las rectas 60º en a él. El Punto en que la recta girada corta a la tercera es el segundo vértice, y el tercero se obtiene deshaciendo el giro. Dependiendo del sentido de giro, se obtiene una solución o su simétrica.[br][br]El cálculo del lado [color=#ff0000][b]d[/b][/color] del triángulo en función de [color=#0000ff][b]r[/b][/color] y [color=#0000ff][b]s[/b][/color] es sencillo:[br][br][b]r = d·sen(α) ⇒ sen(α) = r/d[br]s = d·sen(60º - α) = d((√3/2)cos(α) - (1/2)sen(α))[br]2s = d(√3√(1 - (r/d)²) - r/d) = √3√(d² - r²) - r ⇒[br](2s + r)² = 3(d² - r²) ⇒ 4s² + 4sr + r² =3d² - 3r² ⇒[br]3d² = 4(r² + rs + s²) ⇒ d = 2√((r² + rs + s²)/3)[/b][br][br]Para evitar duplicidades y encuadrar bien el triángulo, se debe introducir en el panel izquierdo valores de [color=#0000ff][b]r[/b][/color] y [color=#0000ff][b]s[/b][/color] tales que [color=#0000ff][b]0 < r ≤ s[/b][/color]. Pulsando el botón [[color=#0c343d][b]Solución paramétrica[/b][/color]] se asignan a [color=#0000ff][b]r[/b][/color] y [color=#0000ff][b]s[/b][/color] los valores deducidos del panel derecho, tal y como se explica a continuación.[br][br]Es una ecuación homogénea de 2º grado en tres variables. Si estamos interesados en sus soluciones enteras, podemos dividir la penúltima ecuación por [b]d²[/b] y hacer [b]x = r/d[/b], y[b] = s/d[/b], con lo que nos queda:[br][br][b][color=#ff00ff]x² + xy + y² = 3/4[br][/color][/b][br]Esta es la ecuación de una [color=#ff00ff][b]elipse[/b][/color] en el plano Oxy. Los ejes son las bisectrices de los cuadrantes. Si localizamos un punto de coordenadas racionales, cualquier recta de pendiente racional que pase por el, volverá a cortar a la elipse en otro punto de coordenadas racionales. Dos puntos obvios de coordenadas racionales son [b](+/-1/2, +/-1/2)[/b]. Como estamos interesados en puntos de coordenadas positivas, tomamos como vértice del haz de rectas el punto [color=#0000ff][b]P = (-1/2, -1/2)[/b][/color]. La ecuación de cualquier recta que pase por él es[br][br][b][color=#38761d]y + 1/2 = t(x + 1/2)[/color][/b][br][br]Para evitar duplicidades y dado que solo estamos interesados en valores positivos, tomaremos [color=#0000ff][b]r < s[/b][/color] y ambos positivos, lo que restringe los valores de [color=#38761d][b]t[/b][/color] a [color=#38761d][b][1, 1 + √3][/b][/color]. Despejando y en la ecuación de la recta, sustituyendo en la de la elipse y dividiendo por [b](x + 1/2)[/b], ya que [b]x = - 1/2[/b] es una solución, nos queda:[br][br][color=#ff0000][b]x = - (t² - 2t - 2)/(2(t² + t + 1))[br]y = (2t² + 2t - 1)/(2(t² + t + 1))[/b][/color][br][br]Para cada valor racional de [color=#38761d][b]t[/b][/color], se obtienen valores racionales de [color=#ff0000][b]x[/b][/color] e [color=#ff0000][b]y[/b][/color], que multiplicados por el mcm de sus denominadores, que sera [color=#ff0000][b]d[/b][/color], nos proporcionan [color=#0000ff][b]r[/b][/color] y [color=#0000ff][b]s[/b][/color], todos enteros:[br][br][b][color=#ff0000]r = 2u² + 2uv - v²[br]s = -u² +2uv + 2v²[br]d = 2(u² + uv + v²)[br][br][/color][/b]Modificando los valores de [b][color=#0000ff]u[/color][/b] y [b][color=#0000ff]v[/color][/b] en el panel derecho se modifica debidamente el panel izquierdo. pero al modificar los valores de [b][color=#0000ff]r[/color][/b] y [color=#0000ff][b]s[/b][/color] en el panel izquierda [b]NO[/b] se modifica el panel derecho.