[b]Nullstellenarten ganzrationaler Funktionen[/b] Wir möchten die Eigenschaften der Graphen zu Funktionen untersuchen, die an einer Stelle eine mehrfache Nullstelle haben, deren Funktionsterm sich also schreiben lässt in der Form: [math] f(x)=(x-c)^n [/math] mit x Element der reellen Zahlen und n Element der natürlichen Zahlen. Insbesondere interessiert uns: [list] [*]Verlauf des Graphen: z.B. von links oben nach rechts oben (l.o. => r.o.) [*]Vorzeichenwechsel: Tritt ein Vorzeichenwechsel an der Position der Nullstelle auf ? [*]Verlauf bei negativem Faktor „b“: z.B. von links oben nach rechts oben (l.o. => r.o.) [*]Vorzeichenwechsel bei neg. Faktor „b“: Tritt ein Vorzeichenwechsel an der Position der Nullstelle auf? [*]Wie unterscheidet sich der Graph an Nullstellen höherer Ordnung vom Graphen an Nullstellen niederer Ordnung? [/list]
[b]Hinweise zur Bedienung: [/b][list] [*]Mit Hilfe der Checkboxes kannst Du Dir jeweils die Graphen ZWEIER Funktionen zum gleichen Exponenten anzeigen lassen, z.B. also die Graphen von [math]f_2 [/math] und [math] g_2[/math]. [*]Einen negativen Faktor kannst Du Dir mit Hilfe des Schiebereglers erzeugen – wähle z.B. [i]b = -1[/i]. [*]Mit Hilfe des Schiebereglers [i]„a“[/i] kann man die Graphen der Funktionen auf der [math]x-Achse[/math] verschieben. [/list] [b]Aufgaben[/b]: [list=1] [*]Befülle die Tabelle unten für die Graphen der Funktionen mit den Exponenten [math]2-5[/math]![ [*]Was folgerst Du daraus für die Graphen der Funktionen mit den Exponenten [math](2n)[/math] bzw. [math](2n+1)[/math] mit n element der natürlichen Zahlen? [/list] [b]Ergebnis:[/b] [list] [*]Hat eine Funktion eine Nullstelle ungerader Ordnung, dann ___________ die Funktionswerte dort bei steigenden x-Werten das Vorzeichen. [*]Bei Nullstellen gerader Ordnung _______________ der Graph lediglich die x-Achse, es findet ________ Vorzeichenwechsel statt. [*]Neben Nullstellen höherer Ordnung verläuft der Graph zunächst __________________ als neben Nullstellen tieferer Ordnung. [/list]