Il concetto di limite permette di definire una proprietà molto importante delle funzioni, detta [b]continuità[/b]. Una funzione [math]\large{f(x)}[/math] si dice [b]continua nel punto [math]\large{x_0}[/math][/b] se [br][br][math]\Large{\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)}[/math][br][br]ovvero [b]se quando i valori di input [/b][math]\large{x}[/math][b] si avvicinano ad [/b][math]{x_0}[/math][b], le corrispondenti immagini [/b][math]\large{f(x)}[/math][b] si avvicinano sempre più ad [/b][math]\large{f(x_0)}[/math][b], cioè al risultato che la funzione effettivamente ha nel punto considerato [/b][math]\large{x_0}[/math].

Derivando dal limite, che si occupa di descrivere la funzione [i]in un intorno di un punto[/i], anche la continuità è una proprietà innanzitutto [b]locale[/b], che quindi riguarda solo un punto ed il suo intorno. Una funzione però può essere [b]continua nell'intervallo[/b] [math]\large{[x_A, x_B]}[/math], se è continua in tutti i punti di quell'intervallo. Una funzione che è continua per qualsiasi valore reale a volte per brevità si dice semplicemente che è continua [i]tout court[/i], anche se è sempre bene specificare per quali punti vale questa proprietà.[br][br][size=100][color=#ff0000]FUNZIONI CONTINUE E DISCONTINUE[/color][/size][br]La maggior parte delle funzioni che conosciamo è continua. Esiste una serie di teoremi per dimostrarlo, che si basano sullo studio delle funzioni elementari e delle loro combinazioni. Dato che la definizione di continuità è un limite, partendo dalla verifica formale dei limiti di dimostra che [br][list=1][*]la funzione [math]\large{y=x}[/math] e la funzione costante [math]\large{y=k}[/math] sono continue.[/*][br][*][b]la somma o la differenza[/b] di due o più funzioni continue genera una funzione continua, perciò ad esempio [math]\large{y=x+5}[/math] è continua perché è la somma di due funzioni dei tipi considerati al punto 1) [/*][br][*][b]il prodotto[/b] di due o più funzioni continue è una funzione continua, perciò la funzione [math]\large{y=3x^3}[/math] è continua. Per il punto 2 ne concludiamo che anche [math]\large{y=5x^2-3x+2}[/math] è continua perché somma (punto 2) di prodotti di funzioni continue. [/*][/list][br]Con questi primi tre punti abbiamo concluso che tutte le funzioni [i]polinomiali[/i] sono continue. Si estende poi la dimostrazione alle funzioni trascendenti (esponenziali, seno, coseno, etc.), ottenendo così una vasta varietà di funzioni che possiamo considerare continue. [br][br]Notiamo tuttavia che [b][color=#ff0000]non abbiamo incluso la divisione tra le possibili operazioni che combinando funzioni continue generano una nuova funzione altrettanto continua[/color][/b]. Se infatti consideriamo la funzione[br][br][math]\Large{y=\frac{x+2}{x-3}}[/math][br][br]essa non esiste nel punto [math]\large{x=3}[/math] e quindi nel punto [math]\large{x_0=3}[/math] non può essere continua, dato che non esiste [math]\large{f(x_0)}[/math]. Il punto [math]\large{x_0=3}[/math] si dice in questo caso [b]punto di discontinuità[/b] della funzione. [br][br]Vediamo nell'animazione qui sotto i vari casi in cui la condizione di continuità può NON essere soddisfatta, ed i vari tipi di DISCONTINUITÀ che ne derivano.

Riportiamo qui sotto a titolo riassuntivo la definizione di continuità e consideriamo i vari casi in cui NON è soddisfatta, cioè in cui la funzione NON è continua; da ognuno dei quali si definisce una [b]tipologia di discontinuità[/b].[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{\lim_{x \to x_0}f(x)} = \textcolor{blue}{f(x_0)}}[/math][br][br]I possibili casi in cui questa uguaglianza NON è rispettata sono:[br][list=1][*][b]non esiste[/b] [math]\large{\textcolor{blue}{f(x_0)}}[/math], cioè la funzione non ha risultato in [math]\large{x_0}[/math] - cioè [math]\large{x_0}[/math] NON appartiene al dominio della funzione. [/*][br][*][b]non esiste[/b] [math]\large{\textcolor{red}{\lim_{x \to x_0}f(x)}}[/math], oppure [b]esiste ma non è un valore finito[/b]. Infatti se il limite è [math]+ \infty[/math] o [math]- \infty[/math] esso non potrà mai essere uguale ad [math]\large{\textcolor{blue}{f(x_0)}}[/math], che per forza è un numero finito.[br][/*][*]esistono entrambi i valori, ma [b]non sono uguali tra loro[/b].[/*][br][/list]Queste tre possibilità si combinano generando le varie tipologie di discontinuità, come riportato nello schema riassuntivo che puoi visualizzare e scaricare qui sotto.