Ja hem vist com algunes corbes es poden expressar algebraicament o mitjançant construccions dinàmiques. Ara veurem com una mateixa corba es pot expressar en forma d'equació cartesiana, d'equacions paramètriques o en forma polar.

La lemniscata és la corba determinada pel conjunt de punts del pla que compleixen que el producte de les distàncies a dos punts fixos és contant. Aquesta condició es pot expressar amb l'equació cartesiana:[br][i](x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]2[/sup] = 2a[sup]2 [/sup](x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup])[/i][br]La corba té forma de "vuit horitzontal". És el símbol amb que representem l'infinit: ∞

En una finestra nova de GeoGebra inseriu un punt lliscant [i]a[/i] que prengui valors entre 0.1 i 4 amb un increment de 0.1. A la línia d'entrada escriviu: [i](x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]2[/sup] = 2a[sup]2 [/sup](x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup])[/i].[br]Observeu que s'ha representat una lemniscata. Observeu com varia la corba en variar el paràmetre [i]a[/i].

Igual que les equacions d'una recta es pot expressar en formes diferents: vectorial, paramètrica, contínua, general... Les corbes també es poden expressar de diverses formes. Hem vist la lemniscata expressada en forma cartesiana. Ara veurem com expressar-la en forma paramètrica.[br][br]Inseriu un punt lliscant [i]t[/i] que prengui valors entre [i]-pi[/i] i[i] pi[/i] amb un increment de 0.1.[br]A la línia d'entrada escriviu:[br][math]coordx=\frac{a\cdot cos\left(t\right)}{1+\left(sin\left(t\right)\right)^2}[/math][br]i després:[br][math]coordy=\frac{a\cdot sin\left(t\right)\cdot cos\left(t\right)}{1+\left(sin\left(t\right)\right)^2}[/math][br]Aquestes equacions es diuen paramètriques perquè cada punt ve determinat per un valor de[i] t[/i], és a dir, per a cada[i] t[/i] tenim un punt de la corba i a cada punt de la corba li correspon un valor de[i] t[/i]. En aquest cas [i]t[/i] varia entre [i]-pi[/i] i [i]pi[/i].[br][br]Inseriu a la línia d'entrada:[br][i]A=(coordx , coordy)[/i][br][br]Activa el traç del punt [i]A[/i] i l'animació de [i]t[/i]. [br][br]Què hi observes? Quin paper juga el paràmetre [i]a[/i]?

GeoGebra incorpora un comandament que permet representar una corba a partir de les equacions paramètriques:[br][code][/code]Corba( Expressió, Expressió, Variable, Des de, Fins a )[br][br]Elimina el traç i introdueix a la línia d'[i]Entrada[/i]:[br][i]Corba(a cos(t) / (1 + sin(t)²), a sin(t) cos(t) / (1 + sin(t)²), t, -pi, pi)[/i][br][br]Què hi observes?[br]

Hem començat el capítol de Geometria analítica comentant que donat un sistema de coordenades cartesià, tot punt quedava determinat per un parell de valors, anomenats coordenades, que indiquen quant a la dreta/esquerra i quant amunt/avall està situat respecte l'origen de coordenades.[br][br]Aquesta no és l'única manera de localitzar un punt, també tenim les coordenades polars. Aquestes determinen a quina distància es troba de l'origen de coordenades i quin angle respecte el semieix positiu de les abscisses. Per exemple el punt A(4,3) en coordenades cartesianes és A(5 , 53.13º) en coordenades polars. [br][br]Si voleu veure la graella polar, heu de clicar amb el botó dret sobre la zona blanca de la finestra gràfica, trieu la darrera opció del menú, accediu a la pestanya [i]Graella[/i], seleccioneu [i]Mostrar graella[/i] i el tipus [i]Polar[/i].

Et proposem que resolgueu aquestes activitats amb llapis i paper:[br]a) un punt que té coordenades cartesianes (-3,4), quines coordenades polars tindrà?[br]b) un punt que té coordenades polars (2, 45º), quines coordenades cartesianes tindrà?[br]c) Troba unes fórmules que permetin passar d'un tipus de coordenades a l'altre.

Obriu una finestra nova de GeoGebra. Inseriu un punt lliscant [i]a[/i] que prengui valors entre 0.1 i 2 amb un increment de 0.1. Inseriu un punt lliscant [i]t[/i] que prengui valors entre 0º i 360º amb un increment de 0,5º.[br]L'equació polar de la lemniscata, com podeu observar molt més senzilla:[br][math]r=sqrt\left(2a^2\cdot cos\left(2t\right)\right)[/math][br][br]Escriviu en la línia d'Entrada:[br][i]P=(sqrt(2a^2*cos(2t)) ; t)[/i] (observeu que hem posat ;)[br]Activeu el traç de [i]P[/i] i l'animació de [i]t[/i].[br][br]Una altra forma per representar la lemniscata és:[br][i]Corba(sqrt(2*a^2*cos(2t))*cos(t), sqrt(2*a^2*cos(2t))*sin(t), t, 0º, 360º)[br][/i]Saps d'on surt aquesta forma de representar-la?

Accediu a aquesta pàgina web:[br]http://spaceweathergallery.com/indiv_upload.php?upload_id=102267[br]i observeu com el Sol descriu una corba similar a una lemniscata.[br][br]Per saber la relació entre la lemniscata i el Donut:[br]https://espiralcromatica.wordpress.com/tag/lemniscata-de-bernoulli/