Geometria Analitica
Raccolta di attività di Geometria Analitica.
Tabla de Contenidos
- Punti
- Crittografia e coordinate
- Teorema di Pick
- Rette
- Funzioni lineari - le basi
- Sistemi lineari
- Parabola
- Equazioni / Disequazioni 2° grado e parabole - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Segno dei coefficienti di una parabola - Pratica
- Parabola per 3 punti - Risoluzione analitica e grafico
- Parabole ortogonali
- Parabola come proiezione di una circonferenza
- Parabola come inviluppo
- Ellisse
- Ellisse come luogo geometrico
- Ellisse come inviluppo - Metodo della corrispondenza
- Ellisse come inviluppo
- Coniche
- Costruzione unitaria di ellisse, iperbole e circonferenza
- Riconoscere una conica dagli invarianti
- Ellisse, iperbole e circonferenza come inviluppi
- Trasformazioni
- Matrici e trasformazioni lineari
- Trasformazioni di triangoli e matrici
Crittografia e coordinate
Nella tua scuola non si possono utilizzare i cellulari, e tu e il tuo gruppo di amici avete trovato il modo di scambiarvi messaggi criptati, in modo che solo chi ha a disposizione la chiave di lettura possa capire il contenuto del messaggio.[br][br]Ecco la chiave di lettura![br]Una griglia contenente le lettere dell'alfabeto. Ogni lettera ha delle coordinate, quindi solo chi ha la griglia può decodificare il messaggio.
La firma
Ogni messaggio va firmato col proprio nome, così si capisce chi è il mittente.[br]La mia firma è [math]\left(8,5\right),\left(2,-1\right),\left(7,-2\right),\left(0,0\right),\left(8,-6\right),\left(-9,5\right)[/math].[br]Qual è la tua?
Separare le parole
Un messaggio criptato deve comunque essere comprensibile. Separiamo le parole racchiudendo ognuna di esse in parentesi graffe.[br][math]\left\{\left(-6,4\right),\left(4,-3\right),\left(5,1\right),\left(5,1\right),\left(-9,5\right)\right\}\left\{\left(7,-2\right),\left(0,0\right),\left(8,5\right),\left(8,5\right),\left(-9,5\right)\right\},\left\{\left(8,-6\right),\left(0,0\right)\right\}?[/math][br]Scrivi un messaggio criptato alla tua vicina di banco.
Sicurezza
Alla base di ogni metodo di crittografia c'è la sicurezza. Se utilizzassimo come chiave di lettura solo le ascisse dei punti che vedi nella griglia, il metodo sarebbe altrettanto sicuro?[br]E se utilizzassimo solo le ordinate?[br]Se dovessi scegliere tra utilizzare solo le ascisse o solo le ordinate dei punti della griglia per crittografare il tuo messaggio, quale dei due metodi risulterebbe più efficiente e sicuro?[br]Spiega la tua scelta.
Crea la tua griglia di decodifica
Muovi i punti nell'app di seguito e crea la tua personalissima griglia di decodifica.[br][br]I punti devono rispettare le seguenti condizioni:[br]- tutti i punti devono avere coordinate diverse [br]- l'[i]ascissa[/i] delle [i]vocali è[/i] -1[br]- la coordinata [i]x[/i] di [i]D[/i] è -6[br]- l'[i]ascissa[/i] di [i]H[/i] e [i]K[/i] è -5[br]- i punti [i]W[/i], [i]X[/i], [i]Y[/i] e [i]Z[/i] appartengono all'asse delle [i]ordinate[/i][br]- i punti [i]L[/i], [i]M[/i], [i]N[/i], [i]R[/i], [i]S[/i] e [i]T[/i] appartengono all'asse delle [i]ascisse[/i][br]- la coordinata [i]y [/i]di [i]B[/i], [i]F[/i], [i]J[/i], [i]P[/i] e [i]V[/i] è 3[br]- i punti [i]C[/i], [i]G[/i] e [i]Q[/i] hanno l'[i]ascissa [/i]uguale all'[i]ordinata[/i][br][br]
Funzioni lineari - le basi
Grafico di una funzione lineare e pendenza
Il grafico descritto da una equazione nella forma [math]y=mx+q[/math] è una [i]retta,[/i] quindi una linea. [br]Ecco perchè tutte le funzioni di questo tipo si chiamano [i]funzioni lineari[/i].[br][br]Se conosciamo le coordinate di due punti della funzione, [math]P_1=\left(x_1,y_1\right)[/math] e [math]P_2=\left(x_2,y_2\right)[/math] possiamo calcolare la [i]pendenza[/i] o [i]coefficiente angolare[/i] [math]m[/math] della retta: [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math]. Tale valore è costante: comunque scegli due punti appartenenti alla funzione lineare, il valore di [i]m[/i] è sempre lo stesso.
Ora prova tu...
Nell'app che segue, muovi i punti [math]A[/math] e [math]B[/math], quindi inserisci il valore della pendenza [math]m[/math] della retta che hai definito.[br]Seleziona [i]Verifica[/i] per scoprire se hai calcolato correttamente la pendenza e visualizzare la soluzione di questo esercizio.[br]Deseleziona [i]Verifica[/i] per creare una nuova retta ed esercitarti a calcolarne la pendenza.
Quando le cose non funzionano algebricamente...
Se hai una funzione lineare nella forma [math]f\left(x\right)=mx+q[/math] e le coordinate di due dei sui punti, [math]P_1=\left(x_1,y_1\right)[/math] e [math]P_2=\left(x_2,y_2\right)[/math] puoi calcolare: [br]- il valore [math]q[/math] dell'intersezione del grafico con l'asse [i]y[/i][br]- il valore del coefficiente angolare (pendenza) [math]m[/math] utilizzando la formula [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math].[br][br]Muovi i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] nell'app qui sopra, in modo da allinearli verticalmente.[br]Scoprirai qual è il problema a livello algebrico che viene generato da una configurazione dei punti di questo tipo.
... e geometricamente
Muovi i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] nell'app qui sopra, in modo da allinearli verticalmente.[br]Osserva il grafico della retta.[br]Questo è il grafico di una [i]funzione lineare[/i]?[br]Spiega le tue congetture.
Equazioni / Disequazioni 2° grado e parabole - Lezione+Esplorazione+Pratica
Risolvere graficamente le disequazioni di 2° grado
Il grafico di una [i][color=#1e84cc][b]funzione di 2° grado (quadratica)[/b][/color][/i] in un riferimento cartesiano ortogonale è una [i][color=#1e84cc][b]parabola[/b][/color][/i].[br][br]Per [i][b][color=#1e84cc]risolvere graficamente[/color][/b][/i] una [i][b][color=#1e84cc]disequazione di 2° grado [math]ax^2+bx+c>0[/math][/color][/b][/i] o [math]ax^2+bx+c<0[/math], traccia il grafico della parabola corrispondente, quindi:[br][list][*]Le [color=#1e84cc][i][b]ascisse[/b][/i][/color] dei punti (se esistono) in cui la [i][b][color=#1e84cc]parabola interseca[/color][/b][/i] l'[color=#1e84cc][i][b]asse x[/b][/i][/color] sono la [i][b][color=#1e84cc]soluzione[/color][/b][/i] dell'[color=#1e84cc][i][b]equazione[/b][/i][/color] [math]ax^2+bx+c=0[/math] (zeri dell'equazione)[/*][/list][list][*]Le [color=#1e84cc][i][b]ascisse[/b][/i][/color] dei punti (se esistono) in cui la [i][b][color=#1e84cc]parabola[/color][/b][/i] si trova[color=#1e84cc] [i][b]sopra[/b][/i][/color][i][b] [/b][/i]all'[color=#1e84cc][i][b]asse x[/b][/i][/color] sono [i][b][color=#1e84cc]soluzione[/color] [/b][/i]della [i][b][color=#1e84cc]disequazione [math]ax^2+bx+c>0[/math][/color][/b][/i] [/*][/list][list][*]The[color=#1e84cc] [/color][color=#1e84cc][i][b]ascisse[/b][/i][/color] dei punti (se esistono) in cui la [i][b][color=#1e84cc]parabola[/color][/b][/i][i][b][color=#1e84cc][/color][/b][/i] si trova[color=#1e84cc] [i][b]sotto [/b][/i][/color]all'[color=#1e84cc][i][b]asse x[/b][/i][/color] sono [i][b][color=#1e84cc]soluzione[/color] [/b][/i]della [i][b][color=#1e84cc]disequazione[/color][/b][/i][color=#1e84cc][i][b][/b][/i][/color] [math]ax^2+bx+c<0[/math][/*][/list]
Ora prova tu...
Determina graficamente le soluzioni di una equazione o disequazione di 2° grado, esplorando il grafico della parabola corrispondente.[br][br]Inserisci l'espressione nel campo di inserimento, quindi seleziona nell'elenco a discesa il verso della disequazione.[br][br]Utilizza la rotellina del mouse o i gesti predefiniti per i dispositivi mobili per fare uno zoom della vista Grafici e visualizzare meglio i dettagli, se necessario.[br]
Oggi l'insegnante sei tu!
Assegni in verifica la disequazione [math]x^2-49<0[/math]. [br][br]Alice la risolve così: [math]x^2<49\rightarrow x<\pm7[/math].[br][br]Bob risolve prima l'equazione [math]x^2-49=0[/math], e ottiene [math]x=\pm7[/math]. poi traccia un grafico della parabola corrispondente all'equazione e ottiene la soluzione [img]data:image/png;base64,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[/img].[br][br]Chad usa ChatGPT 2 e ottiene la soluzione [math]-7\le x\le7[/math].[br][br]Alice dice che il suo metodo è più veloce di quello di Bob, perchè non richiede neanche di disegnare grafici.[br][br]Correggi le verifiche dei tuoi studenti, e giustifica i voti assegnati.
Dubbio amletico...
Solo una tra le seguenti disequazioni ha per soluzione l'intervallo in figura. Quale?[br][img]data:image/png;base64,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[/img]
Ellisse come luogo geometrico
Esplora la costruzione di un'ellisse, come luogo geometrico dei punti del piano che godono tutti di una stessa proprietà.[br][br]Utilizza i dati numerici presenti nell'attività per determinare l'equazione dell'ellisse visualizzata.
Costruzione unitaria di ellisse, iperbole e circonferenza
Posiziona i fuochi[color=#9900ff] [i]F[/i][sub]1[/sub][/color]ed [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] che determinano l'asse focale della conica da generare, imposta lo slider [color=#1551b5][i]asseM[/i][/color] che è la lunghezza dell'[color=#1e84cc][i]asse maggiore[/i][/color] della conica, quindi muovi il punto [i][color=#6aa84f]P[/color][/i] lungo la circonferenza per visualizzare il luogo geometrico.[br][br]La costruzione geometrica del luogo è la seguente:[br][list][*]Crea i due fuochi, [color=#9900ff][i]F[sub]1[/sub][/i][/color] ed [i][color=#9900ff]F[sub]2[/sub][/color][/i][br][/*][*]Traccia la circonferenza con centro in [color=#9900ff][i]F[/i][sub]1[/sub][/color] e [color=#1e84cc]raggio [i]r[/i] = [i]AsseM[/i][/color][/*][*]Preso un punto [color=#6aa84f][i]P[/i][/color] su di essa, traccia l’asse del segmento [i]P[/i][i]F[/i][sub]2[/sub][/*][*]La retta [i]P[/i][color=#ff0000][color=#000000][i]F[/i][/color][sub][color=#000000]1[/color] [/sub][/color]interseca l'asse nei punti [color=#1e84cc][i]L[/i][/color] della conica[/*][/list][br]Il punto [color=#0000ff][i]P[/i][/color], muovendosi sulla circonferenza, descrive il luogo dei punti[color=#1e84cc] [i]L[/i][/color], che è:[br][br]- un'[i]ellisse[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] è [i]interno [/i]alla circonferenza [i] distanza focale[/i] < [i]lunghezza asse[/i] → [i]e[/i] < 1[br][br]- un'[i]iperbole[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] è [i]esterno [/i]alla circonferenza [i]distanza focale[/i] > [i]lunghezza asse[/i] → [i]e[/i] > 1[br][br]- una[i] circonferenza[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]1[/sub] ≡[i]F[/i][sub]2[/sub][/color] [i]distanza focale[/i] = 0 → [i]e[/i] = 0
Esplorazione del luogo
Dopo avere visualizzato la costruzione del luogo, disegna il triangolo [i]PLF[sub]2[/sub][/i] e rispondi alle seguenti domande.[br]
Che tipo di triangolo è [i]PLF[sub]2[/sub][/i] ?[br]Spiega.[br]
Scrivi la definizione canonica della conica visualizzata come luogo geometrico.
Utilizza le proprietà del triangolo [i]PLF[sub]2[/sub][/i] per dimostrare che il grafico ottenuto è proprio quello della conica.
Matrici e trasformazioni lineari
Seleziona un oggetto da trasformare (punto, retta, circonferenza, funzione, quadrato di lato unitario), quindi seleziona una trasformazione lineare.[br][br]Puoi esplorare le trasformazioni trascinando gli oggetti iniziali non vincolati a una definizione, che sono visualizzati in verde.[br]Gli oggetti trasformati sono visualizzati in rosso, ed essendo dipendenti dagli oggetti iniziali non possono essere trascinati.[br][br]Hai a disposizione alcune [color=#2980b9][i]trasformazioni predefinite[/i][/color]: le [color=#2980b9][i]simmetrie [/i][/color]rispetto agli assi cartesiani, gli [color=#2980b9][i]stiramenti[/i][/color], le [color=#2980b9][i]omotetie [/i][/color]e le [color=#2980b9][i]rotazioni[/i][/color].[br][br]In alternativa puoi selezionare una trasformazione [color=#2980b9][i]personalizzata[/i][/color], e definire la matrice della trasformazione [math]T=\begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix} [/math] utilizzando gli slider visualizzati.
Esplora...
... come si fa?
Puoi utilizzare il calcolo matriciale per calcolare le coordinate dei punti trasformati di alcuni punti dati secondo una certa trasformazione individuata da una matrice [math]T[/math].[br][br]Se i punti assegnati hanno coordinate [math]\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)[/math] e [math]\left(x_3,y_3\right)[/math], la matrice delle loro coordinate sarà [math]M=\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{bmatrix} [/math], e la matrice delle coordinate dei punti trasformati sarà [math]M'=T\cdot M[/math].
... ora mettiti alla prova
Nell'app qui sopra, considera il quadrato unitario. Se consideriamo le coordinate dei suoi vertici in senso antiorario a partire dall'origine, possiamo costruire la matrice delle coordinate dei vertici: [math]M=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1& 1 \end{bmatrix} [/math].[br][br]Ora seleziona una trasformazione [i]Personalizzata[/i], e poni uguale a 2 i due elementi della diagonale principale della matrice della trasformazione [math]T[/math], e uguale a 0 i due elementi della diagonale secondaria.[br]Che trasformazione hai ottenuto?[br]Confronta i valori dell'area del quadrato unitario e del quadrato trasformato.[br][br]E se avessi posto la matrice della trasformazione uguale a [math]T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} [/math], quale sarebbe stata l'area della figura trasformata?[br][br]Verifica la tua congettura calcolando le coordinate dei vertici della figura trasformata e determinandone l'area.[br][br]
Manca una trasformazione?
Nell'elenco delle trasformazioni disponibili nell'app manca la [i]simmetria centrale[/i] di centro [math]O[/math].[br]Riesci a ottenere questa trasformazione utilizzando le opzioni disponibili?[br]Spiega la tua risposta in dettaglio.