Geometria Analitica
Raccolta di attività di Geometria Analitica.
Table of Contents
- Punti
- Crittografia e coordinate
- Teorema di Pick
- Rette
- Funzioni lineari - le basi
- Sistemi lineari
- Parabola
- Parabola per 3 punti - Risoluzione analitica e grafico
- Equazioni / Disequazioni 2° grado e parabole - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Parabole ortogonali
- Parabola come proiezione di una circonferenza
- Parabola come inviluppo
- Ellisse
- Ellisse come luogo geometrico
- Ellisse come inviluppo - Metodo della corrispondenza
- Ellisse come inviluppo
- Coniche
- Costruzione unitaria di ellisse, iperbole e circonferenza
- Riconoscere una conica dagli invarianti
- Matrici e trasformazioni lineari
- Ellisse, iperbole e circonferenza come inviluppi
Crittografia e coordinate
Nella tua scuola non si possono utilizzare i cellulari, e tu e il tuo gruppo di amici avete trovato il modo di scambiarvi messaggi criptati, in modo che solo chi ha a disposizione la chiave di lettura possa capire il contenuto del messaggio.[br][br]Ecco la chiave di lettura![br]Una griglia contenente le lettere dell'alfabeto. Ogni lettera ha delle coordinate, quindi solo chi ha la griglia può decodificare il messaggio.
La firma
Ogni messaggio va firmato col proprio nome, così si capisce chi è il mittente.[br]La mia firma è [math]\left(8,5\right),\left(2,-1\right),\left(7,-2\right),\left(0,0\right),\left(8,-6\right),\left(-9,5\right)[/math].[br]Qual è la tua?
Separare le parole
Un messaggio criptato deve comunque essere comprensibile. Separiamo le parole racchiudendo ognuna di esse in parentesi graffe.[br][math]\left\{\left(-6,4\right),\left(4,-3\right),\left(5,1\right),\left(5,1\right),\left(-9,5\right)\right\}\left\{\left(7,-2\right),\left(0,0\right),\left(8,5\right),\left(8,5\right),\left(-9,5\right)\right\},\left\{\left(8,-6\right),\left(0,0\right)\right\}?[/math][br]Scrivi un messaggio criptato alla tua vicina di banco.
Sicurezza
Alla base di ogni metodo di crittografia c'è la sicurezza. Se utilizzassimo come chiave di lettura solo le ascisse dei punti che vedi nella griglia, il metodo sarebbe altrettanto sicuro?[br]E se utilizzassimo solo le ordinate?[br]Se dovessi scegliere tra utilizzare solo le ascisse o solo le ordinate dei punti della griglia per crittografare il tuo messaggio, quale dei due metodi risulterebbe più efficiente e sicuro?[br]Spiega la tua scelta.
Crea la tua griglia di decodifica
Muovi i punti nell'app di seguito e crea la tua personalissima griglia di decodifica.[br][br]I punti devono rispettare le seguenti condizioni:[br]- tutti i punti devono avere coordinate diverse [br]- l'[i]ascissa[/i] delle [i]vocali è[/i] -1[br]- la coordinata [i]x[/i] di [i]D[/i] è -6[br]- l'[i]ascissa[/i] di [i]H[/i] e [i]K[/i] è -5[br]- i punti [i]W[/i], [i]X[/i], [i]Y[/i] e [i]Z[/i] appartengono all'asse delle [i]ordinate[/i][br]- i punti [i]L[/i], [i]M[/i], [i]N[/i], [i]R[/i], [i]S[/i] e [i]T[/i] appartengono all'asse delle [i]ascisse[/i][br]- la coordinata [i]y [/i]di [i]B[/i], [i]F[/i], [i]J[/i], [i]P[/i] e [i]V[/i] è 3[br]- i punti [i]C[/i], [i]G[/i] e [i]Q[/i] hanno l'[i]ascissa [/i]uguale all'[i]ordinata[/i][br][br]
Funzioni lineari - le basi
Grafico di una funzione lineare e pendenza
Il grafico descritto da una equazione nella forma [math]y=mx+q[/math] è una [i]retta,[/i] quindi una linea. [br]Ecco perchè tutte le funzioni di questo tipo si chiamano [i]funzioni lineari[/i].[br][br]Se conosciamo le coordinate di due punti della funzione, [math]P_1=\left(x_1,y_1\right)[/math] e [math]P_2=\left(x_2,y_2\right)[/math] possiamo calcolare la [i]pendenza[/i] o [i]coefficiente angolare[/i] [math]m[/math] della retta: [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math]. Tale valore è costante: comunque scegli due punti appartenenti alla funzione lineare, il valore di [i]m[/i] è sempre lo stesso.
Ora prova tu...
Nell'app che segue, muovi i punti [math]A[/math] e [math]B[/math], quindi inserisci il valore della pendenza [math]m[/math] della retta che hai definito.[br]Seleziona [i]Verifica[/i] per scoprire se hai calcolato correttamente la pendenza e visualizzare la soluzione di questo esercizio.[br]Deseleziona [i]Verifica[/i] per creare una nuova retta ed esercitarti a calcolarne la pendenza.
Quando le cose non funzionano algebricamente...
Se hai una funzione lineare nella forma [math]f\left(x\right)=mx+q[/math] e le coordinate di due dei sui punti, [math]P_1=\left(x_1,y_1\right)[/math] e [math]P_2=\left(x_2,y_2\right)[/math] puoi calcolare: [br]- il valore [math]q[/math] dell'intersezione del grafico con l'asse [i]y[/i][br]- il valore del coefficiente angolare (pendenza) [math]m[/math] utilizzando la formula [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math].[br][br]Muovi i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] nell'app qui sopra, in modo da allinearli verticalmente.[br]Scoprirai qual è il problema a livello algebrico che viene generato da una configurazione dei punti di questo tipo.
... e geometricamente
Muovi i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] nell'app qui sopra, in modo da allinearli verticalmente.[br]Osserva il grafico della retta.[br]Questo è il grafico di una [i]funzione lineare[/i]?[br]Spiega le tue congetture.
Parabola per 3 punti - Risoluzione analitica e grafico
Determinazione dell'equazione di una parabola del tipo [math]y=ax^2+bx+c[/math] passante per tre punti. [br][br]Inserisci le coordinate dei punti nei rispettivi campi di inserimento, quindi premi [i]Invio[/i].[br][list][*]la[i] vista Grafici [/i]mostra i punti e il grafico della parabola[/*][*]la [i]vista CAS[/i] mostra il procedimento algebrico per ottenere i coefficienti [i]a[/i], [i]b[/i] e [i]c[/i]. [br][/*][/list][br]Fai uno zoom avanti o indietro nella [i]vista Grafici[/i] per esplorare il grafico in dettaglio.
Ellisse come luogo geometrico
Esplora la costruzione di un'ellisse, come luogo geometrico dei punti del piano che godono tutti di una stessa proprietà.[br][br]Utilizza i dati numerici presenti nell'attività per determinare l'equazione dell'ellisse visualizzata.
Costruzione unitaria di ellisse, iperbole e circonferenza
Posiziona i fuochi[color=#9900ff] [i]F[/i][sub]1[/sub][/color]ed [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] che determinano l'asse focale della conica da generare, imposta lo slider [color=#1551b5][i]asseM[/i][/color] che è la lunghezza dell'[color=#1e84cc][i]asse maggiore[/i][/color] della conica, quindi muovi il punto [i][color=#6aa84f]P[/color][/i] lungo la circonferenza per visualizzare il luogo geometrico.[br][br]La costruzione geometrica del luogo è la seguente:[br][list][*]Crea i due fuochi, [color=#9900ff][i]F[sub]1[/sub][/i][/color] ed [i][color=#9900ff]F[sub]2[/sub][/color][/i][br][/*][*]Traccia la circonferenza con centro in [color=#9900ff][i]F[/i][sub]1[/sub][/color] e [color=#1e84cc]raggio [i]r[/i] = [i]AsseM[/i][/color][/*][*]Preso un punto [color=#6aa84f][i]P[/i][/color] su di essa, traccia l’asse del segmento [i]P[/i][i]F[/i][sub]2[/sub][/*][*]La retta [i]P[/i][color=#ff0000][color=#000000][i]F[/i][/color][sub][color=#000000]1[/color] [/sub][/color]interseca l'asse nei punti [color=#1e84cc][i]L[/i][/color] della conica[/*][/list][br]Il punto [color=#0000ff][i]P[/i][/color], muovendosi sulla circonferenza, descrive il luogo dei punti[color=#1e84cc] [i]L[/i][/color], che è:[br][br]- un'[i]ellisse[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] è [i]interno [/i]alla circonferenza [i] distanza focale[/i] < [i]lunghezza asse[/i] → [i]e[/i] < 1[br][br]- un'[i]iperbole[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] è [i]esterno [/i]alla circonferenza [i]distanza focale[/i] > [i]lunghezza asse[/i] → [i]e[/i] > 1[br][br]- una[i] circonferenza[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]1[/sub] ≡[i]F[/i][sub]2[/sub][/color] [i]distanza focale[/i] = 0 → [i]e[/i] = 0
Esplorazione del luogo
Dopo avere visualizzato la costruzione del luogo, disegna il triangolo [i]PLF[sub]2[/sub][/i] e rispondi alle seguenti domande.[br]
Che tipo di triangolo è [i]PLF[sub]2[/sub][/i] ?[br]Spiega.[br]
Scrivi la definizione canonica della conica visualizzata come luogo geometrico.
Utilizza le proprietà del triangolo [i]PLF[sub]2[/sub][/i] per dimostrare che il grafico ottenuto è proprio quello della conica.