Folgen und Reihen
Table of Contents
- Folgen festlegen
- Arithmetische Folgen
- Geometrische Folgen
- Rekursiv definierte Folgen 1
- Rekursiv definierte Folgen 2
- Folgen mit Geogebra
- Eigenschaften von Folgen
- Monotonie und Schranken
- Grenzwert
- Reihen
- Unendlich viele Summanden 1
- Unendlich viele Summanden 2
- Summe einer unendlichen Reihe
Arithmetische Folgen
Monotonie und Schranken
Beispiel
Ein Patient nimmt täglich eine Tablette ein, die [i]a[/i] Milligramm eines Wirkstoffs enthält. Die Wirkstoffmenge nimmt im Körper pro Tag um [i]p%[/i] ab, beträgt also [b]vor[/b] Einnahme der nächten Tablette [i](100 - p)%[/i] der Menge am Vortag, also das [i]r[/i]-Fache mit [i]r = (100 - p)%[/i] und 0 < [i]r[/i] < 1.[br]Für die Menge [i]x[sub]n[/sub][/i] [b]nach[/b] Einnahme der Tablette am Tag [i]n[/i] gilt also: [b][color=#ff0000][i]x[sub]n[/sub] = r x[sub]n-1[/sub] + a[color=#000000] .[/color][/i][/color][/b]
Aufgabe 1
Erzeuge die Folge (x[sub]n[/sub]) für verschiedene Werte von [i]a[/i] und [i]r[/i]. ([i]a[/i] > 0, 0 < [i]r[/i] < 1) [br]Welche der folgenden Aussagen sind - vermutlich - richtig?
Aufgabe 2
Welche Folgen würden für [i]r[/i] = 0 bzw. [i]r[/i] = 1 entstehen?[br]Was würde das im gegebenen Kontext bedeuten?
Aufgabe 3
Betrachte nun die Folge für [i]a[/i] = 5 und [i]r[/i] = 0,8.[br][br][i] x[sub]1[/sub] = 5[br] x[sub]n[/sub] = 0,8 x[sub]n-1[/sub] + 5[/i][br]
a) Zeige: x[i][sub]n[/sub][/i] < 25 für alle n = 1, 2, 3, ...
b) Zeige: [i]x[sub]n+1[/sub] > x[sub]n[/sub][/i] für alle [i]n[/i] = 1, 2, 3, ...[br]
Man sagt:[br][br]a) 25 ist eine [color=#0000ff][b]obere Schranke[/b][/color] der Folge, die Folge ist [color=#0000ff][b]nach oben beschränkt[/b][/color].[br]b) Die Folge ist [color=#0000ff][b]streng monoton steigend[/b][/color].
Unendlich viele Summanden 1
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = ?
Betrachte die geometrische Folge[br](4, 2, 1, 1/2, 1/4, ...)[br]und addiere ihre Glieder schrittweise.
[color=#0000ff][b]Angenommen, man würde immer mehr Glieder der Folge addieren:[br]Was gilt dann für die Summe der Glieder?[/b][/color] [br][br][i]Markiere alle richtigen Aussagen.[/i]